Cours du 5 Mai 2012 Correction de EMLyon 2012

• Si toutes les valeurs propres vérifient une équation, la matrice diagonale des valeurs propres vérifie aussi l'équation.
  • exemples :
  • a λ³ + b λ² + c λ + d = 0 pour chaque valeur propre => a D³ + b D² + c D + d I = 0
  • (λ − 1) (λ − 2) (λ − 3) = 0 => (D − I) (D − 2I) (D − 3I) = 0
• La dimension de l'espace vectoriel dont les éléments sont les matrices de dimension n est n²
  • l'espace vectoriel des matrices M₂ est donc de dimension 4
• Conclusion : on fait pratiquement tous les calculs dans la base propre de A dont la matrice est alors D
  on revient à la fin dans la base canonique par : "multiplier à gauche par P et à droite par P⁻¹"
  C'est la méthode classique pour avoir des calculs les plus simples possibles sur les matrices.
• notation "petit o" ou "zéro" o(x), o(x²) :
  • f = o(g) au voisinage de a <=> f(x)/g(x) → 0 quand x → a
    au voisinage de a, f(x) est négligeable devant g(x) :
    f(x) + g(x) = g(x) [ f(x)/g(x) + 1 ] → g(a) [ 0 + 1 ] = g(a) quand x → a
  • exemple : D. L. de e^x au voisinage de 0
    • e^x = 1 + x + x² / 2 + x³ / 6 + ...
    • e^x = 1 + x + x² / 2 + x² ( x / 6 + ... )
    • e^x = 1 + x + x² / 2 + h(x)
    • limite h(x) / x² = limite x / 6 = 0
    • e^x = 1 + x + x² / 2 + o(x²)
• demi-tangente en 0 : si la dérivée, donc la tangente, est définie seulement du côté x > 0 par exemple.
  • a = f '(0) = limite (f(x) − f(0)) / (x − 0)
    • si a = +∞ la demi-tangente est verticale dirigée vers le haut
    • si a = −∞ la demi-tangente est verticale dirigée vers le bas
• intégration par changement de variable :
  • ∫ f(x) dx ?
  • si : f(x) = g(u(x)) u'(x), alors on peut simplifier l'intégration en changeant de variable : u au lieu de x
  • du = u' dx
  • ∫ f(x) dx = ∫ g(u(x)) u'(x) dx = ∫ g(u(x)) du
  • les bornes de l'intégrale : a et b pour dx deviennent u(a) et u(b) pour du
• intégration par partie :
  • ∫ f(x) dx ?
  • si : f(x) = u'(x) v(x),
    • où u'(x) est facile à intégrer (e^x par exemple)
    • et v(x) se simplifie en dérivant (xⁿ ou ln(x) par exemple)
    • alors on peut simplifier l'intégration en changeant de variable : u au lieu de x
  • ∫ f(x) dx = ∫ u'(x) v(x) dx = [ u(x) v(x) ] − ∫ u(x) v'(x) dx
• points critiques et extrêmums de z = f(x,y)
  • P=(a, b) est un point critique si ∂f/∂x(a, b) = 0 et ∂f/∂y(a, b) = 0
  • P est un extrêmum si : r t > s² pour le point P(x=a, y=b)
    => r et t ont de même signe, mais ce n'est pas suffisant, il faut que : s² < r t
    • moyen mnémotechnique : (r t) est donc largement positif puisque : r t > s² > 0
    • si r et t sont tous les deux > 0 : minimum
    • si r et t sont tous les deux < 0 : maximum
• Convergence d'une intégrale impropre au voisinage de l'infini ∫^∞ f(x) dx
  • on la compare à 1 / x² = x⁻²   ( dont l'intégrale converge à l'infini )
  • si limite de f(x) / x⁻² = limite de x² f(x) = 0 alors f(x) = o(x⁻²) :
    f(x) tend vers 0 plus vite que 1 / x² donc ∫ f(x) dx converge.
  • On peut comparer à 1 / x^{1 + ε} (ε > 0) dont l'intégrale converge au voisinage de l'infini.
• Convergence d'une intégrale impropre au voisinage de 0 ∫₀ f(x) dx
  • on la compare à 1 / x^1/2 = x^−1/2   ( dont l'intégrale converge en zéro )
  • si limite de f(x) / x^−1/2 = limite de x^1/2 f(x) = 0 alors f(x) = o(x^−1/2) :
    f(x) tend vers l'infini moins vite que 1 / x^1/2 donc ∫ f(x) dx converge.
  • On peut comparer à 1 / x^{1 − ε} (ε > 0) dont l'intégrale converge au voisinage de zéro.
• Estimateur du paramètre "a" : variable aléatoire A_n dont l'espérance E(A_n) est égale au paramètre "a" recherché
  Pour une population qui suit une loi de probabilité "X" dépendant d'un paramètre "a" que l'on souhaite estimer
  exemple : une loi normale dont on voudrait connaître à la fois la moyenne et l'écart-type
  • On part d'un échantillon de n tirages aléatoires indépendants : X₁, ..., X_n
  • estimateur de la moyenne : A_n = (X₁ + ... + X_n) / n
    • E(A_n) = m (estimateur sans biais)
    • sinon : E(A_n) ≠ m   ( alors biais = E(A_n) − m )
    • risque quadratique : r = V(A_n) + biais²
      le biais doit être nul ou tendre vers 0 le plus vite possible quand n → ∞
      le meilleur estimateur : dont le risque tend vers 0 le plus vite possible quand n → ∞
    • rappel : V(A_n) = E(A_n²) − [ E(A_n) ]²
  • estimateur biaisé de la variance : B_n = (X₁² + ... + X_n²) / n
    • E(B_n) = [ (n − 1) / n ] V(X) ≠ V(X)
  • estimateur sans biais de la variance : C_n = [ n / (n − 1) ] B_n = (X₁² + ... + X_n²) / (n −1)
    • E(C_n) = V(X) = σ²
  • remarque : si on connaît la moyenne de la population, l'estimateur sans biais de la variance devient :
    B_n = (X₁² + ... + X_n²) / n

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