Cours de Math. prépa. HEC devoir table 2

Cours de Math. des prépa. HEC devoir table 2
( systèmes linéaires, suites )

Système d'équations linéaires

(S₁) : 3 équations, 3 inconnues (x, y, z)

3x	+	y	−	z	=	1	(Eq.1)
−2x	+	2y	−	3z	=	−1	(Eq.2)
2x	−	y	+	2z	=	2	(Eq.3)

Elimination de y ( car il a les coefficients les plus simples ) → 2 équations, 2 inconnues (x, z)

(Eq.4) = (Eq.2) − 2 (Eq.1)

−6x	−	2y	+	2z	=	−2	(−2 Eq.1)
−2x	+	2y	−	3z	=	−1	(Eq.2)
−8x	+	0	−	z	=	−3	(Eq.4)

(Eq.5) = (Eq.2) + 2 (Eq.3)

−2x	+	2y	−	3z	=	−1	(Eq.2)
4x	−	2y	+	4z	=	4	(2 Eq.3)
2x	+	0	+	z	=	3	(Eq.5)

élimination de z entre les équations (Eq.4) et (Eq.5) (coefficients les plus simples) → 1 équation, 1 inconnue (x)

(Eq.6) = (Eq.4) + (Eq.5)

−8x	+	−	z	=	−3	(Eq.4)
2x	+	+	z	=	3	(Eq.5)
−6x	+	+	0	=	0	(Eq.6)

Solution : x = 0
d'après (Eq.5) : z = 3 − 2x = 3
d'après (Eq.1) : y = 1 − 3x + z = 4
Il y a une solution unique : ( x=0, y=4, z=3 )

(S₂) : 3 équations, 3 inconnues (x, y, z)

2x	+	2y	+	6z	=	2	(Eq.1)
3x	+	y	−	z	=	−3	(Eq.2)
−x			+	2z	=	2	(Eq.3)

Elimination de y ( car il a les coefficients les plus simples ) → 2 équations, 2 inconnues (x, z)

(Eq.4) = (Eq.1) − 2 (Eq.2)

2x	+	2y	+	6z	=	2	(Eq.1)
−6x	−	2y	+	2z	=	6	(−2 Eq.2)
−4x	+	0	+	8z	=	8	(Eq.4)

Elimination de x ( car il a les coefficients les plus simples ) → 1 équation, 1 inconnue (z)

(Eq.5) = (Eq.4) − 4 (Eq.3)

−4x	+	0	+	8z	=	8	(Eq.4)
4x			−	8z	=	−8	(−4 Eq.3)
0			+	0 z	=	0	(Eq.5)

z peut prendre n'importe quelle valeur : l'équation (Eq.5) est toujours vérifiée
il y a une infinité de solutions
nous devons exprimer les autres variables en fonction de z
d'après (Eq.3) : x = 2 z − 2
d'après (Eq.2) : y = −3 − 3x + z = −3 − 3 (2 z − 2) + z
y = −3 − 6 z + 6 + z = 3 − 5 z
solution : ( x=2z−2, y=3−5z , z )

Système d'équations linéaires avec un paramètre

(S₁) : 2 équations, 2 inconnues (x, y)

(1−λ)x + 3y = 0 (Eq.1)

2x + (2−λ)y = 0 (Eq.2)
système homogène : solution (x=0, y=0) si le déterminant ≠ 0
déterminant = 0 : les membres de gauche des 2 équations sont proportionnels.

méthode 1 : élimination de x : (Eq.3) = −2 (Eq.1) + (1−λ) (Eq.2)

(−2+2λ)x	+	−6y	=	(Eq.1)
2(1−λ)x	+	(1−λ)(2−λ)y	=	(Eq.2)
0	+	(2 − 3 λ + λ² −6)y	=	(Eq.3)

y = 0 si son coefficient λ² − 3 λ − 4 ≠ 0
racines : Δ = 9 + 16 = 25 → λ = (3 ± 5) / 2 = { 4, −1 }

méthode 2 : système de Cramer si déterminant ≠ 0
- Dét = (1−λ) (2−λ) − 6
- Dét = 2 − 3 λ + λ² − 6
- Dét = λ² − 3 λ − 4
système de Cramer si λ est un réel différent de 4 et −1

inéquation (I) : (−x³ − 2 x² − 5) / (x³ + 2 x² − 5 x − 6) ≥ −1

montrer que : x³ + 2 x² − 5 x − 6 = (x + 1) (x² + x − 6)
- On développe le produit : (x + 1) (x² + x − 6) = x³ + x² − 6 x + x² + x − 6 = x³ + 2 x² − 5 x − 6
  qui est bien égal au membre de gauche
- Domaine de résolution de (I) : dénominateur ≠ 0
  - x + 1 ≠ 0 <=> x ≠ −1
  - x² + x − 6 ≠ 0
    - Δ = 1 + 24 = 25 : racine = (−1 ± 5) / 2
    - x ≠ 2 et x ≠ −3
  - Domaine de résolution : ℜ − { −3, −1, 2 }

résoudre (I) : on se ramène à une comparaison à 0 : étude de signe

A = (−x³ − 2 x² − 5) / (x³ + 2 x² − 5 x − 6) + 1 ≥ 0
réduction au même dénominateur : (−x³ − 2 x² − 5 + x³ + 2 x² − 5 x − 6) / [ (x + 1) (x² + x − 6) ] ≥ 0
( − 5 x − 11 ) / [ (x + 1) (x² + x − 6) ] ≥ 0

tableau de signes : changements de signe en −3, −11/5, −1, 2

−∞

−3

−11/5

−1

+∞

− 5 x − 11

−

ax+b du signe de a pour +∞

x + 1

−

ax+b du signe de a pour +∞

x² + x − 6

−

ax²+bx+c du signe de a
à l'extérieur des racines ±∞

−

A ≥ 0

l'inéquation (I) est vérifiée pour : x appartient à ] −3 ; −11/5 ] union ] −1 ; 2 [

Rappel sur le changement de suite :
- suite définie par récurrence : uⁿ⁺¹ = f( uⁿ )
- changement de suite : vⁿ = g( uⁿ )
- relation de récurence sur (vⁿ) : vⁿ⁺¹ = g( uⁿ⁺¹ ) = g( f( uⁿ ) ) = g( f( g⁻¹( vⁿ ) ) )
suite : u₀ = 1 , u₁ = e³ , u_n+2 = u_n+1 u_n²
- montrer que v_n = ln( u_n ) est bien définie
  - v_n est défini si u_n > 0 ( strictement positif )
  - récurrence d'ordre 2 : vérifier les 2 premières valeurs u₀ > 0 et u₁ > 0
  - hypothèse de récurrence forte : si u_n > 0 jusqu'à u_n+1
    u_n+2 = u_n+1 u_n² > 0 ( produit de deux nombres strictement positifs )
  - conclusion sur (u) : u_n+2 > 0 quelque soit n ≥ 0
  - conclusion sur (v) : v_n est défini quelque soit n ≥ 0
- calculer v_n en fonction de n
  - v_n+2 = ln( u_n+2 ) = ln( u_n+1 u_n² ) = ln( u_n+1 ) + 2 ln( u_n ) = v_n+1 + 2 v_n
  - on reconnaît que v_n est une suite linéaire d'ordre 2
  - son expression est de la forme v_n = a r₁ⁿ + b r₂ⁿ
    où r₁ et r₂ sont les racines de : r² = r + 2
    a et b sont déterminés par les 2 valeurs initiales v₀ et v₁
  - v₀ = ln( 1 ) = 0
  - v₁ = ln( e³ ) = 3 ln(e) = 3
  - résolution de : r² − r − 2 = 0
    - Δ = 1 + 8 = 9 => r = ( 1 ± 3 ) / 2 => r₁=2 et r₂=−1
    - v₁ = a (−1)ⁿ + b 2ⁿ
  - détermination de a et b :
    - v₀ = 0 = a + b
    - v₁ = 3 = −a + 2 b
    - somme des 2 équations : 3 = 3 b => b = 1 => a = −b = −1
  - v₁ = − (−1)ⁿ + 2ⁿ = (−1)ⁿ⁺¹ + 2ⁿ
- en déduire u_n en fonction de n
  - v_n = ln( u_n ) <=> u_n = e^v_n
  - u_n = e^{(−1)ⁿ⁺¹ + 2ⁿ} = e^{(−1)ⁿ⁺¹} e^2ⁿ ( pas simplifiable davantage )
  - Attention : ne pas confondre e^2ⁿ avec [e²]ⁿ = e²ⁿ de même que e^{(−1)ⁿ⁺¹} ...
suites ( u₀ = 1 ; u_n+1 = 2/3 u_n + 1/2 v_n ) et ( v₀ = 1 ; v_n+1 = 1/3 u_n + 1/2 v_n )
- Montrer par récurrence que u_n + v_n = 2
  - u₀ + v₀ = 2
  - hypothèse : u_n + v_n = 2
    => u_n+1 + v_n+1 = 2/3 u_n + 1/2 v_n + 1/3 u_n + 1/2 v_n = u_n + v_n = 2
  - donc : u_n + v_n = 2 pour tout n ≥ 0
- x_n = v_n − 4/5
  - en utilisant u_n = 2 − v_n, montrer que x_n est une suite géométrique, déterminer sa raison
    - cherchons à exprimer x_n+1 en fonction de x_n
    - par définition : x_n+1 = v_n+1 − 4/5
    - x_n+1 = 1/3 u_n + 1/2 v_n − 4/5
    - x_n+1 = 1/3 u_n + 1/2 (2 − u_n) − 4/5
    - x_n+1 = (1/3 −1/2) u_n + 1 − 4/5
    - x_n+1 = (2 − 3)/6 u_n + (5 − 4)/5
    - x_n+1 = −1/6 u_n + 1/5
    - x_n+1 = −1/6 (2 − v_n) + 1/5
    - x_n+1 = −1/3 + 1/6 v_n + 1/5
    - x_n+1 = −1/3 + 1/6 (x_n + 4/5) + 1/5
    - x_n+1 = 1/6 x_n + 4/30 −1/3 + 1/5
    - x_n+1 = 1/6 x_n + 2/15 −1/3 + 1/5
    - x_n+1 = 1/6 x_n + (2 − 5 + 3)/15
    - x_n+1 = 1/6 x_n
    - x_n est une suite géométrique de raisons 1/6
  - exprimer x_n en fonction de n, en déduire v_n puis u_n en fonction de n
    - x₀ = v₀ − 4/5 = 1 − 4/5 = (5 − 4)/5 = 1/5
    - x_n = 1/5 (1/6)ⁿ
  - montrer que (u_n) et (v_n) convergent vers L₁ et L₂ à préciser
    - v_n = x_n + 4/5 = 4/5 + 1/5 (1/6)ⁿ
    - u_n = 2 − v_n = 2 − ( 4/5 + 1/5 (1/6)ⁿ ) = (10 − 4)/5 − 1/5 (1/6)ⁿ
      u_n = 6/5 − 1/5 (1/6)ⁿ
    - la raison (1/6) < 1 => (1/6)ⁿ → 0
    - v_n → L₁ = 4/5
    - u_n → L₂ = 6/5
suites u₀ = 0 ; u_n+1 = 6 u_n + 2 × 7ⁿ
- v_n = u_n − 2 × 7ⁿ Montrer que (v_n) est une suite géométrique de raison 6
  - calculons v_n+1 en fonction de v_n
  - v_n+1 = u_n+1 − 2 × 7ⁿ⁺¹
  - v_n+1 = 6 u_n + 2 × 7ⁿ − 2 × 7ⁿ⁺¹
  - v_n+1 = 6 (v_n + 2 × 7ⁿ) + 2 × 7ⁿ − 2 × 7ⁿ⁺¹
  - v_n+1 = 6 v_n + 12 × 7ⁿ + 2 × 7ⁿ − 2 × 7ⁿ⁺¹
  - v_n+1 = 6 v_n + 2 × 7ⁿ ( 6 + 1 − 7 )
  - v_n+1 = 6 v_n
  - v_n est une suite géométrique de raison 6
- calculer v_n en fonction de n
  - v₀ = u₀ − 2 × 7⁰ = −2
  - v_n = −2 × 6ⁿ
- en déduire : u_n = 2 × 7ⁿ ( 1 − (6/7)ⁿ )
  - u_n = v_n + 2 × 7ⁿ
  - u_n = −2 × 6ⁿ + 2 × 7ⁿ
  - u_n = 2 × 7ⁿ ( − (6/7)ⁿ + 1 )
- en déduire : limite(u_n) quand n → +∞
  - (6/7) < 1 => (6/7)ⁿ → 0
  - limite u_n = 2 × 7^∞ × 1 = +∞
suites a₀ = −1 ; a_n+1 = a_n / ( 3 − 2 a_n )
- démontrer par récurrence que : a_n < 0
  - a₀ = −1 < 0
  - supposons a_n < 0 => − 2 a_n > 0 => 3 − 2 a_n > 3 > 0
  - a_n+1 est du signe de a_n < 0
  - donc a_n < 0 quel que soit n ≥ 0
- en déduire que a_n est définie pour tout n
  - il faut s'assurer que le dénominateur est toujours ≠ 0
  - a₀ = ≠ 0
  - a_n < 0 donc ≠ 0 => 3 − 2 a_n > 0 donc ≠ 0 => a_n+1 défini
- on pose t_n = 1 / a_n pourquoi est-ce possible ?
  - on peut diviser par a_n car a_n ≠ 0
- montrer que t₀ = −1 et t_n+1 = 3 t_n − 2
  - t₀ = 1 / a₀ = −1
  - t_n+1 = 1 / a_n+1 = ( 3 − 2 a_n ) / a_n = ( 3 − 2 / t_n ) t_n
  - t_n+1 = 3 t_n − 2
- calculer t_n en fonction de n, en déduire a_n en fonction de n
  - t_n est une suite arithmético-géométrique => u_n = t_n − L est une suite géométrique
  - calcul du point fixe : L = 3 L − 2 => 2 = 2 L => L = 1
  - u_n+1 = t_n+1 − 1 = 3 t_n − 2 − 1 = 3 ( t_n − 1 ) = 3 u_n
  - u₀ = −1 − 1 = −2
  - u_n = −2 × 3ⁿ
  - t_n+1 = u_n + 1 = 1 − 2 × 3ⁿ
  - a_n = 1 / ( 1 − 2 × 3ⁿ )
suites w₀ = −1/2 ; w_n+1 = ( 5 w_n − 1 ) / ( w_n + 3 )
- Remarque : valeurs interdites (hors sujet)
  
  w_n = −3
  w_n+1 = −3 => 5 w_n − 1 = −3 w_n − 9 => 8 w_n = −8 => w_n = −1
  w_n+1 = −1 => 5 w_n − 1 = − w_n − 3 => 6 w_n = −2 => w_n = −1/3
  w_n+1 = −1/3 ...
- montrer que w_n+1 = 1 <=> w_n = 1
  - on suppose que w_n ≠ −3
  - w_n+1 = 1 <=> 5 w_n − 1 = w_n + 3
  - 4 w_n = 4 <=> w_n = 1
- démontrer par récurrence que : w_n ≠ 1
  - w₀ = −1/2 ≠ 1
  - supposons que : w_n = ≠ 1 => w_n+1 ≠ 1 d'après la question précécente
  - donc w_n = ≠ 1 quel que soit n
- on pose h_n = ( w_n + 1 ) / ( 1 − w_n ) justifier ?
  - d'après la question précédente : w_n = ≠ 1 , on peut donc toujours diviser par ( 1 − w_n ) ≠ 0
- exprimer w_n en fonction de h_n
  - h_n ( 1 − w_n ) = w_n + 1
  - h_n − w_n h_n = w_n + 1
  - h_n − 1 = w_n ( 1 + h_n )
  - w_n = ( h_n − 1 ) / ( h_n + 1 )
- démontrer que h_n est une suite arithmétique de raison −1/2
  - h_n+1 = ( w_n+1 + 1 ) / ( 1 − w_n+1 )
  - h_n+1 = [ ( 5 w_n − 1 ) / ( w_n + 3 ) + 1 ] / [ 1 − ( 5 w_n − 1 ) / ( w_n + 3 ) ]
  - h_n+1 = [ 5 w_n − 1 + w_n + 3 ] / [ w_n + 3 − 5 w_n + 1 ]
  - h_n+1 = [ 6 w_n + 2 ] / [ 4 − 4 w_n ]
  - h_n+1 = [ 3 w_n + 1 ] / [ 2 − 2 w_n ]
  - h_n+1 = [ 3 ( h_n − 1 ) / ( h_n + 1 ) + 1 ] / [ 2 − 2 ( h_n − 1 ) / ( h_n + 1 ) ]
  - h_n+1 = [ 3 h_n − 3 + h_n + 1 ] / [ 2 h_n + 2 − 2 h_n + 2 ]
  - h_n+1 = [ 4 h_n − 2 ] / [ 4 ]
  - h_n+1 = h_n − 1/2
  - suite arithmétique de raison −1/2
- calculer h_n en fonction de n puis montrer que w_n = ( 3 n + 4 ) / ( 3 n − 8 )
  - h₀ = ( w₀ + 1 ) / ( 1 − w₀ )
  - h₀ = ( −1/2 + 1 ) / ( 1 + 1/2 )
  - h₀ = ( −1 + 2 ) / ( 2 + 1 ) = 1/3
  - h_n = 1/3 − n / 2 = ( 2 − 3 n ) / 6
  - w_n = ( h_n − 1 ) / ( h_n + 1 )
  - w_n = [ ( 2 − 3 n ) / 6 − 1 ] / [ ( 2 − 3 n ) / 6 + 1 ]
  - w_n = [ 2 − 3 n − 6 ] / [ 2 − 3 n + 6 ]
  - w_n = [ − 3 n − 4 ] / [ − 3 n + 8 ]
  - w_n = [ 3 n + 4 ] / [ 3 n − 8 ]
- écrire un programme en Pascal intitulé ds2 qui demande à l'utilisateur d'entrer n puis affiche w_n (formule de la question précédente)
  - program ds2 ;
  - var n : integer ; w : real ;
  - begin
  - writeln("entrez le nombre n ?") ;
  - readln(n) ;
  - w = ( 3 * n + 4 ) / ( 3 * n − 8 ) ;
  - writeln("w(n)=", w) ;
  - end
- démontrer que w_n+1 − w_n = −36 / [ (3 n − 5) (3 n − 8) ]
  - w_n+1 − w_n = [ 3 (n + 1) + 4 ] / [ 3 (n + 1) − 8 ] − [ 3 n + 4 ] / [ 3 n − 8 ]
  - w_n+1 − w_n = ( 3 n + 7 ) / ( 3 n − 5 ) − ( 3 n + 4 ) / ( 3 n − 8 )
  - réduction au même dénomintateur : ( 3 n − 5 ) ( 3 n − 8 )
  - w_n+1 − w_n = [ ( 3 n + 7 ) ( 3 n − 8 ) − ( 3 n + 4 ) ( 3 n − 5 ) ] / [ ( 3 n − 5 ) ( 3 n − 8 ) ]
  - w_n+1 − w_n = [ 9 n² + 21 n − 24 n − 56 − ( 9 n² + 12 n − 15 n − 20 ) ] / [ ( 3 n − 5 ) ( 3 n − 8 ) ]
  - w_n+1 − w_n = [ − 3 n − 56 − ( − 3 n − 20 ) ] / [ ( 3 n − 5 ) ( 3 n − 8 ) ]
  - w_n+1 − w_n = [ − 3 n − 56 + 3 n + 20 ) ] / [ ( 3 n − 5 ) ( 3 n − 8 ) ]
  - w_n+1 − w_n = − 36 / [ ( 3 n − 5 ) ( 3 n − 8 ) ]
- en déduire que w_n est décroissante pour n ≥ 3
  - pour n > 3 : n > 3 => 3 n > 9
  - => 3 n − 5 > 9 − 5 = 4 > 0
  - => 3 n − 8 > 9 − 8 = 1 > 0
  - le dénominateur est positif
  - w_n+1 − w_n est du signe de −36 donc négatif
  - la suite (w_n) est décroissante
- limite de (w_n) quand n → +∞
  - w_n = [ 3 n + 4 ] / [ 3 n − 8 ]
  - quand n → +∞, w_n se comporte comme le rapport des termes de plus haut degré
  - w_n → ( 3 n ) / ( 3 n ) = 1
  - la limite quand n → +∞ de (w_n) est 1

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(1−λ)x	+	3y	=	0	(Eq.1)
2x	+	(2−λ)y	=	0	(Eq.2)