Ecricome Eco 2010 Exercice 3   énoncé (page 3)   corrigé (page 7)   énoncé+corrigé

• I) Etude de parties successives
  1. P(E_i)

     D1 \ D2	1	2	3	4	5	6
     1	E2	E3	E3	E3	E3	E3
     2	E1	E2	E3	E3	E3	E3
     3	E1	E1	E2	E3	E3	E3
     4	E1	E1	E1	E2	E3	E3
     5	E1	E1	E1	E1	E2	E3
     6	E1	E1	E1	E1	E1	E2

     P(E₁) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 6² = 6 × 5 / ( 2 × 36 ) = 5/12
     P(E₂) = 6 / 6² = 1/6
     P(E₃) = (5 + 4 + 3 + 2 + 1) / 6² = 6 × 5 / ( 2 × 36 ) = 5/12
  2. Loi P(X_i)

     Xi = k	0	1	2	∑k
     P(Xi = k)	5/12	5/12	1/6	( 5 + 5 + 2 ) / 12 = 12/12 = 1
     k P(Xi = k)	0	5/12	2/6	( 5 + 4 ) / 12 = 9/12
     k2 P(Xi = k)	0	5/12	4/6	( 5 + 8 ) / 12 = 13/12

     E(X_i) = ∑ k P(X_i=k) = 9/12 = 3/4
     V(X_i) = E(X_i²) − E(X_i)² = ∑ X_i² P(X_i) − 9/16 = 13/12 − 9/16 = ( 52 − 27 ) / 48 = 25/48
  3. Loi P(Y₁) : Après 1 partie : Y₁ = X₁
  4. Loi P(Y₂) : dénombrement des cas possibles (tableau conjoint des évènements X₁ et X₂)

     X1 \ X2	E1=0	E3=1	E2=2
     E1=0	0	1	2
     E3=1	1	2	3
     E2=2	2	3	4

     Loi P(Y₂) :

     Y2	0	1	2	3	4
     P(Y2)	P(E1)2	2 P(E1) P(E3)	2 P(E1) P(E2) + P(E3)2	2 P(E3) P(E2)	P(E2)2
     P(Y2)	25/144	50/144	5/36 + 25/144	5/36	1/36
     P(Y2)	25/144	25/72	5/16	5/36	1/36

  5. Etude de Y₃
     • Y₃(Ω) = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } = [[0,6]]
     • Loi conjointe (Y₂, Y₃) : Y₃ = Y₂ + X₃ => P(Y₃) = P(Y₂) P(X₃)
       (Y₃=k) = [ (Y₂=k) et (X₃=0) ] ou [ (Y₂=k−1) et (X₃=1) ] ou [ (Y₂=k−2) et (X₃=2) ]
       P(Y₃=k) = P(Y₂=k) P(X₃=0) + P(Y₂=k−1) P(X₃=1) + P(Y₂=k−2) P(X₃=2)
       exemple case ( j, j+k ) : P(Y₂=j et Y₃=j+k) = P(Y₂=j) P(X₃=k)

       Y2 \ Y3	0	1	2	3	4	5	6
       0	25/144×5/12	25/144×5/12	25/144×1/6	0	0	0	0
       1	0	25/72×5/12	25/72×5/12	25/72×1/6	0	0	0
       2	0	0	5/16×5/12	5/16×5/12	5/16×1/6	0	0
       3	0	0	0	5/36×5/12	5/36×5/12	5/36×1/6	0
       4	0	0	0	0	1/36×5/12	1/36×5/12	1/36×1/6
       P(Y3)	53/123	3×53/123	175/576	425/1728	35/288	5/144	1/63
       P(Y3)	625/1728	125/576	175/576	425/1728	35/288	5/144	1/216

       P(Y₃=2) = 2×5²/12³ + 2×5³/12³ + 5²/(4²×12) = 6×5²/(6×12²) + 5²/(4²×12)
           = 4×5²/(4×12²) + 3×5²/(4×12²) = 7×5²/(4×12²) = 175/576
       P(Y₃=3) = 5²/(12×6²) + 5²/(12×4²) + 5²/(3×12²) = (4 + 9 + 4)5²/12³
           = 17×5²/12³ = (16 + 1)×5²/12³ = 425/1728
       P(Y₃=4) = 5/(4×4×6) + 25/(6×6×12) + 5/(3×12×12) = (18×5 + 4×25 + 4×5)/(12×12×12)
           = (90 + 100 + 20)/(12×12×12) = 210/(12×12×12) = 105/(6×12×12) = 35/(2×12×12) = 35/288
       P(Y₃=5) = 5/(6×6×6) + 5/(6×6×12) = (10 + 5)/(6×6×12) = 15/(6×6×12) = 5/(2×6×12) = 5/144
     • Loi P(Y₃) : Loi marginale du couple P(Y₃=k) = ∑_i P(Y₂=i et Y₃=k)

       Y3	0	1	2	3	4	5	6
       P(Y3)	625/1728	125/576	175/576	425/1728	35/288	5/144	1/216

  6. Etude de Y_n
     • Y_n = ∑_i=1ⁿ X_i Comme les évènements X_i sont indépendants
       • E(Y_n) = n E(X_i) = 3n/4
       • V(Y_n) = n V(X_i) = 25n/48
     • Nombre de parties pour obtenir plus de 10 points : 3n/4 > 10
       n > 40/3 = 13,33 => n ≥ 14 (entier)
• II) Etude du temps d'attente
  1. • a) T₁(Ω) = { 1, 2, ... } = N^* ( minimum 1 obtenu pour : E₃ ou E₂ au premier tirage )
       P(T₁=k) = ∏_k=1^k−1 P(E₁) × ( P(E₃) + P(E₂) ) = (5/12)^k−1 (7/12)
     • b) Loi géométrique de paramètre p=7/12 :
       • E(T₁) = 1/p = 12/7
       • V(T₁) = q/p² = (5/12)×(12/7)² = 5×12/7² = 60/49
  2. • a) T₂(Ω) = { 1, 2, ... } = N^* ( minimum 1 obtenu pour : E₂ au premier tirage )
     • b) P(T₂=1) = P(X₁=2) = P(E₂) = 1/6
       P(T₂=2) : cas possibles pour les 2 premiers tirages : (0, 2) ou (1, 1) ou (1, 2)
       P(T₂=2) = (5/12)(1/6) + (5/12)² + (5/12)(1/6) = (10 + 25 + 10)/12² = 45/12² = 5/4² = 5/16
     • c) (T₂=k+1) ne dépend pas simplement de (T₂=k) : trop complexe à démontrer par récurrence.
       répétition de la question précédente au rang n
       P(T₂=k) : cas possibles
       • Y_k−1 = 0 et X_k = { 2 } Y passe de 0 à 2 au k^ème tirage : Proba. = (5/12)^k−1(1/6)
       • Y_k−1 = 1 et X_k = { 1, 2 } Y passe de 1 à ( 2 ou 3 ) au k^ème tirage : Proba. = P(Y_k−1=1)(7/12)
       • P(T₂=k) = (5/12)^k−1(1/6) + P(Y_k−1=1)(7/12)
         le point peut être marqué au tirage 1, 2, ... ou k−1 : P(Y_k−1=1) = (k−1)(5/12)^k−2(5/12)
         P(T₂=k) = (5/12)^k−1 (1/6) + (k−1)(5/12)^k−1 (7/12)
     • d) pour k = 1, la formule donne : 1/6 = P(T₂=1)
       pour k = 2, la formule donne : (5/12)(1/6) + (5/12)(7/12) = (5/12)(9/12) = 5/16 = P(T₂=2)
       La formule s'applique aussi pour k=1 et k=2 (le raisonnement ne dépendait pas de k ≥ 3)
     • e) ∑_k=1^∞ P(T₂=k) = 1 ?
       • ∑_k=1^∞ P(T₂=k) = (1/6) ∑_k=1^∞ (5/12)^k−1 + (7/12) ∑_k=1^∞ (k−1)(5/12)^k−1
             = (1/6) 1/(1 − 5/12) + (7/12) S(5/12)
       • calcul de ∑_k=1^∞ (k−1)x^k−1
         • S₀(x) = ∑_k=1^∞ x^k−1 = 1 / (1 − x)   ( avec x < 1 )
         • S₁(x) = ∑_k=1^∞ (k−1)x^k−2 = 1 / (1 − x)²
         • ∑_k=1^∞ (k−1)x^k−1 = x S₁(x) = x / (1 − x)²
       • ∑_k=1^∞ P(T₂=k) = (1/6) 12/(12 − 5) + (7/12) (5/12)/(1 − 5/12)²
             = 2/7 + 35/12²/(1 − 5/12)² = 2/7 + 35/(12 − 5)² = 2/7 + 35/49 = 2/7 + 5/7 = 7/7 = 1
     • f) Le score de 2 est quasi-certain : ne jamais atteindre le score de 2 est quasi impossible.
     • g) E(T₂) = ∑_k=1^∞ k P(T₂=k) = ∑_k=1^∞ k (5/12)^k−1 (1/6) + ∑_k=1^∞ k(k−1)(5/12)^k−1 (7/12)
       • ∑_k=1^∞ x^k = 1 / ( 1 − x ) et par dérivations :
         => ∑_k=1^∞ k x^k−1 = 1 / ( 1 − x )²
         => ∑_k=1^∞ k (k−1) x^k−2 = 2 / ( 1 − x )³
       • avec x = 5/12 : E(T₂) = (1/6) ∑_k=1^∞ k x^k−1 + (7/12) x ∑_k=1^∞ k(k−1)x^k−2
       • E(T₂) = (1/6)/( 1 − x )² + (7/12)(x)(2)/(1 − x)³
       • E(T₂) = [ (1 − x )/6 + (7/6)(x) ] / (1 − x)³
       • E(T₂) = [ 1 − x + 7 x ] / [ 6 (1 − x)³ ] = ( 1 + 6 x ) / [ 6 (1 − x)³ ]
       • E(T₂) = ( 1 + 6 (5)/12 ) / [ 6 (1 − 5/12 )³ ]
       • E(T₂) = 12² ( 12 + 30 ) / [ 6 (12 − 5 )³ ]
       • E(T₂) = 12² (42) / [ 6 × 7³ ]
       • E(T₂) = 12² (7) / [ 7³ ]
       • E(T₂) = (12/7)² = 144/49

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