Ecricome Eco 2011 Exercice 3 Proba (Jeu en ligne)   énoncé (pages 3,4)   corrigé (page 7)

• Partie I
  • 1.) Nombre de cas possibles : placer 3 jetons dans 9 cases ?
    • ordre ou pas ordre ? les jetons sont identiques, donc même combinaison si on en permute 2
      => Combinaison de 3 parmi 9 = 9×8×7 / 1×2×3 = 9! / ( 6! × 3! ) = 3×4×7 = 4×21 = 84
    • Le jeton (1) a 9 cases possibles, il reste au jeton (2) 8 cases possibles et 7 cases possibles au jeton (3),
      ce qui fait 9×8×7 = 9! / 6! Arrangements de 3 parmi 9
      Mais nous avons compté plusieurs fois les permutations des 3 jetons dans les mêmes cases
  • 2.) P( ) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles
  • probabilité des jetons alignés en ligne horizontale : P(H) = 3 / 84 ( car 3 horizontales)
  • probabilité des jetons alignés en colonne : P(V) = 3 / 84 ( car 3 verticales)
  • probabilité des jetons alignés en diagonale : P(D) = 2 / 84 ( car 2 diagonales)
  • 3.) Il n'y a pas d'autre alignement possible : p(N) = 1 − P(H) − P(V) − P(D)
    p(N) = 1 − 8/84 = (84 − 8)/84 = 76/84 = 38/42 = 19/21
  • 4.a) Z_i = gain de la société pour une partie.

    Le joueur	proba.	gain de la société	gain du joueur
    gagne	P(N) = 2/21	−18 €	18 €
    perd	P(N) = 19/21	2 €	−2 €

    E(Z_i) = (−18) × P(N) + (2) × P(N) = (−18) × 2/21 + 2 × 19/21 = 2 ( 19 −18 ) / 21 = (2 / 21) € = 0,095 €
  • 4.b) gain journalier pour n=10000 parties :
    Les parties sont indépendantes donc E(n Z_i) = n E(Z_i) = (20000 / 21) € = 952 €
• Partie II
  • 1) un joueur joue 100 parties
  • 1.a) X = nombre de parties gagnées : Le joueur effectue n=100 tirages avec une proba. de succès constante p=2/21
    La proba. d'obtenir k succès dans [[0, n]] est celle de la loi binomiale : P(X=k) = (k parmi n) p^k (1−p)^n−k
    P(k succès) = p^k et P(n−k échecs) = (1−p)^n−k multiplié par le nombre de combinaison de k parmi les n tirages.
  • 1.b) E(X) = n × E(1 tirage) = n p = 200 / 21 = 9,5
          V(X) = n × V(1 tirage) = n p (1−p) = n p q = 200 × 19 / 21² = 3800 / 441 = 8,6
  • 1.c) perte T du joueur quand il gagne X parties sur les n=100 :
    • Le joueur gagne X parties : gain du joueur : X × 18 € donc perte = − X × 18 €
    • Le joueur perd n−X parties : perte du joueur = (n−X) × 2 €

      Le joueur	nombre de parties	gain du joueur	perte du joueur
      gagne	X	18 €	−18 €
      perd	n − X	−2 €	2 €

    • T = X × (−18) + (n−X) × 2 = −18 X + 2 n − 2 X = 2 n − 20 X = 200 − 20 X
  • 2) nombre de parties pour avoir une proba. de gagner une partie ≥ 50%
    • Si le joueur joue 1 partie : P(gagner une partie) = 2/21
    • Si le joueur joue 2 parties : Il peut gagner la première, la deuxième ou les 2 ...
      C'est le contraire de perdre toutes les parties qui vaut (19/21)ⁿ
    • P(X≥1) = 1 − (19/21)ⁿ ≥ 0,5
    • 1 − 0,5 ≥ (19/21)ⁿ
    • 1/2 ≥ (19/21)ⁿ
    • comme la fonction ln( ) est monotone croissante, elle ne change pas l'inégalité précédente :
    • ln(1/2) = −ln(2) ≥ ln[(19/21)ⁿ] = n ln(19/21)
    • −0,7 ≥ n × (−0,1)
    • −0,7 / (−0,1) = 7 ≤ n
    • Il faut jouer au moins 7 parties pour avoir une proba. d'en gagner au moins une ≥ 50%
  • 3) Le joueur joue jusqu'à ce qu'il gagne une partie : y = nombre de parties
    • 3.a) Loi de Y : loi géométrique ; P(Y=k) = (1−p)^k−1 p
      Le joueur perd les (k−1) premières parties et gagne la k^ème
    • 3.b) E(Y) = 1/p = 21/2 = 10,5
            ( si p=1/10, le joueur joue en moyenne 10 parties pour en gagner une)
            V(Y) = (1−p)/p² = q / p² = 19/21 × 21² / 2² = 19 × 21 / 4 = (20−1)(20+1) / 4 = (400 − 1)/4 = 100 − 1/4 = 99,75
  • 3.c) p_k pour que le joueur joue au plus k parties pour gagner
    • Le joueur peut gagner à la partie 1, ou 2, ... ou k   ( Y ≤ k )
    • C'est le contraire de perdre les k premières parties dont la proba. est (19/21)^k
    • p_k = 1 − (19/21)^k
    • remarque : calcul de P( Y ≤ k ) = ∑_j=1^j=k q^j−1 p
      • ∑_j=1^j=k q^j−1 p = p ( q⁰ + q¹ + ... + q^k−1 )
      • série géométrique : S = q⁰ + q¹ + ... + q^k−1
      • S − q S = q⁰ − q^k
      • S = ( q⁰ − q^k ) / ( 1 − q ) = ( 1 − q^k ) / p
      • ∑_j=1^j=k q^j−1 p = p S = 1 − q^k
    • la proba. de dépasser k : P( Y > k ) = q^k = ∑_j=k+1^j=∞ q^j−1 p
• Partie III
  Δ = la fonction aléatoire est déréglée avec P(Δ) = x
  • 1) P_Δ(H) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles
    • P_Δ(H) = P_Δ(V) = P_Δ(D) : une seule ligne possible passant par la case (A,1)
    • nombre de cas possibles : il reste 8 cases pour 2 jetons soit (2 parmi 8) = 8×7/2 = 4×7 = 28
    • P_Δ(H) = P_Δ(V) = P_Δ(D) = 1 / 28
  • 2) P(Δ) = x et P(Δ) = 1 − x

    machine	proba.	joueur	proba. cond.	proba. totale
    déréglée(Δ)	x	gagne(N)	3/28	3x/28
    		perd(N)	25/28	25x/28
    normale(Δ)	1 − x	gagne(N)	2/21	2(1 − x)/21
    		perd(N)	19/21	19(1 − x)/21

    • P(N) = P(Δ) × P_Δ(N) + P(Δ) × P_Δ(N)
    • P_Δ(N) = 1 − P_Δ(H) + P_Δ(V) + P_Δ(D) = 25 / 28
    • P(N) = x × 25/28 + ( 1 − x ) × 19/21 = 25 x / 28 + 19 / 21 − 19 x / 21
      • 28 = 4 × 7 ;     21 = 3 × 7   =>   PPCM = 4 × 21 = 84
      • P(N) = 75 x / 84 + 19 / 21 − 76 x / 84 = 19 / 21 − x / 84
  • 3) la socité gagne 2 € quand le client perd (avec la proba. P(N))
        et perd 18 € quand le client gagne (avec la proba. 1 − P(N))
    • E(G) = 2 × P(N) − 18 ( 1 − P(N) ) = 20 P(N) − 18 ≥ 0
    • 20 ( 19 / 21 − x / 84 ) ≥ 18
    • 20 ( 19 − x / 4 ) ≥ 18 × 21
    • − x ≥ 4 × [ 18 × 21 / 20 − 19 ]
    • x ≤ − 18 × 21 / 5 + 76 = (380 − 378 ) / 5 = 2 / 5 = 0,4
  • 4) Sachant que le joueur a gagné, proba. pour que la machine soit déréglée.
    • P_Gagné(Déréglée) = P(Δ INTER Gagné) / P(Gagné)
    • cas favorables : Δ ET Gagné : P(Δ INTER Gagné) = P(Δ) × ( 1 − P_Δ(N) ) = x × 3/28
    • cas possibles : Gagné : P(Gagné) = 1 − P(N) = 1 − ( 19/21 − x/84 ) = ( 84 − 76 + x ) / 84 = ( 8 + x ) / 84
    • P_Gagné(Déréglée) = 3 x / 28 × 84 / ( 8 + x ) = 9 x / ( 8 + x )

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