EML Eco 2007 Corrigé de l'exercice 1     ( énoncé,   corrigé )

A =	0	1/2	1/2
	1/2	0	1/2
	1/2	1/2	0

• Montrer que A est diagonalisable : A est une matrice symétrique ( a_i^j = a_jⁱ )
  et : Une matrice symétrique est toujours diagonalisable
• diagonalisation de l'endomorphisme associé à A : recherche des valeurs propres ( A X_λ = λ X_λ )
  • Multiplication par P à droite ( le produit des matrices n'est pas commutatif )
  • A = P D P⁻¹   =>   A P = P D   avec P partiellement connu :

    P =	1	1	1	P est symétrique =	1	1	1	D =	b	0	0
    	1	−1	0		1	−1	0		0	c	0
    	?	?	?		1	0	a		0	0	d

  • calculs de P A et P D, puis identification :

    A P =	1	−1/2	a/2	P D =	b	c	d
    	1	1/2	(1+a)/2		b	−c	0
    	1	0	1/2		b	0	ad

  • identification :
    • b = 1 ; c = −1/2 ; d = a/2
    • 1+a = 0 => a = −1 => d = −1/2

    D =	1	0	0	P =	1	1	1
    	0	−1/2	0		1	−1	0
    	0	0	−1/2		1	0	−1

  • calcul de P⁻¹ : Y = P X <=> X = P⁻¹ Y
    • avec X = ( x, y, z ) et Y = ( u, v, w )
    • x + y + z = u
    • x − y = v   => y = x − v
    • x − z = w   => z = x − w
    • en additionnant les 3 équations : 3 x = u + v + w
      ( ou en substituant y et z dans la première équation )
    • x = ( u + v + w ) / 3
    • y = ( u − 2 v + w ) / 3
    • z = ( u + v − 2 w ) / 3

      P−1 =	1/3	1/3	1/3	= (1/3)	1	1	1
      	1/3	−2/3	1/3		1	−2	1
      	1/3	1/3	−2/3		1	1	−2

    • on vérifie que P P⁻¹ = I
• Déterminer Aⁿ
  • A = P D P⁻¹   =>   Aⁿ = P Dⁿ P⁻¹

    P =	1	1	1	Dn =	1	0	0	P Dn =	1	(−1/2)n	(−1/2)n
    	1	−1	0		0	(−1/2)n	0		1	−(−1/2)n	0
    	1	0	−1		0	0	(−1/2)n		1	0	−(−1/2)n

    P Dn =	1	(−1/2)n	(−1/2)n	P−1 = (1/3)	1	1	1
    	1	−(−1/2)n	0		1	−2	1
    	1	0	−(−1/2)n		1	1	−2

    An = (1/3)	1 + 2 (−1/2)n	1 − (−1/2)n	1 − (−1/2)n
    	1 − (−1/2)n	1 + 2 (−1/2)n	1 − (−1/2)n
    	1 − (−1/2)n	1 − (−1/2)n	1 + 2 (−1/2)n

  • vérification pour n = 0 : A⁰ = I et n = 1 : A¹ = A
• u₀ + v₀ + w₀ = 1 ; X₀ = ^t( u₀, v₀, w₀ ) ; X_n = ^t( u_n, v_n, w_n )
  • montrer que : X_n = Aⁿ X₀
    • C'est un suite géométrique de raison A, de formulation explicite : X_n = Aⁿ X₀
  • calcul de u_n, v_n, w_n :
    • 3 u_n = ( 1 + 2 (−1/2)ⁿ ) u₀ + ( 1 − (−1/2)ⁿ ) v₀ + ( 1 − (−1/2)ⁿ ) w₀
    • 3 u_n = u₀ + v₀ + w₀ + 2 (−1/2)ⁿ u₀ − (−1/2)ⁿ v₀ − (−1/2)ⁿ w₀
    • 3 u_n = 1 + 3 (−1/2)ⁿ u₀ − (−1/2)ⁿ u₀ − (−1/2)ⁿ v₀ − (−1/2)ⁿ w₀
    • 3 u_n = 1 + ( 3 u₀ − 1 ) (−1/2)ⁿ
    • u_n = 1/3 + ( u₀ − 1/3 ) (−1/2)ⁿ
    • de la même manière :
    • v_n = 1/3 + ( v₀ − 1/3 ) (−1/2)ⁿ
    • w_n = 1/3 + ( w₀ − 1/3 ) (−1/2)ⁿ
  • déterminer (u, v, w) les limites de ( u_n, v_n, w_n )
    • limite_n→∞ (−1/2)ⁿ = 0 ( raison géométrique inférieure à 1 en valeur absolue )
    • limite ( u, v, w ) = ( 1/3, 1/3, 1/3 )
  • d_n² = ( u_n − u )² + ( v_n − v )² + ( w_n − w )²
    • d_n² = ( u₀ − 1/3 )² (−1/2)²ⁿ + ( v₀ − 1/3 )² (−1/2)²ⁿ + ( w₀ − 1/3 )² (−1/2)²ⁿ
    • d_n² = [ ( u₀ − 1/3 )² + ( v₀ − 1/3 )² + ( w₀ − 1/3 )² ] (−1/2)²ⁿ
    • u₀ + v₀ + w₀ = 1 => ( u₀ + v₀ + w₀ )² = 1
    • ( u₀ + v₀ + w₀ )² = 1 > u₀² + v₀² + w₀² ( car u₀, v₀, w₀ > 0 )
    • u₀ > ( u₀ − 1/3 ) => u₀² > ( u₀ − 1/3 )²
    • => 1 > ( u₀ − 1/3 )² + ( v₀ − 1/3 )² + ( w₀ − 1/3 )²
    • d_n² < (−1/2)²ⁿ
    • d_n < 1 / 2ⁿ < 1 / 2ⁿ⁻¹
  • n tel que d_n < 10⁻²
    • 2⁷ = 128 => 2⁻⁷ < 1/128 < 10⁻²
    • n − 1 ≥ 7 => n ≥ 8
    méthode rigoureuse, mais ne donnant pas la valeur de n :
    • d_n < 1 / 2ⁿ⁻¹ ≤ 10⁻²
    • 2⁻ⁿ⁺¹ ≤ 10⁻²
    • ln( ) étant une fonction croissante conserve le sens des inégalités
    • (−n+1) ln(2) ≤ −2 ln(10)
    • ln(2) > 0 : la division par ln(2) conserve le sens des inégalités
    • (−n+1) ≤ −2 ln(10)/ln(2)
    • 1 + 2 ln(10)/ln(2) ≤ n

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