EML Eco 2007 Corrigé de l'exercice 2     ( énoncé,   corrigé )
0,69 < ln 2 < 0,70 g : ] 0 ; +∞ [ → ℜ, x → g(x) = x² + ln x

• g est continue car g est la somme de 2 fonctions continues sur D_g = ] 0 ; +∞ [
  • Comme il y a un mélange de fonctions rationnelles et de ln( ), il faut dériver g pour étudier sa variation :
  • g'(x) = 2 x + 1/x = ( 2 x² + 1 ) / x > 0 pour x > 0
  • => g est croissante
  • limite(x→+0) g(x) = g(0) = 0 + ln(0) = −∞
  • limite(x→+∞) g(x) = g(∞) = +∞ + +∞ = +∞
• d'après le théorème de la bijection :
  • g(x) est continue et croît de −∞ à +∞ sur D_g
  • g(x) prend donc la valeur 0 une fois et une seule sur D_g.
• g(1/2) = 1/4 − ln 2 ∼ 0,25 − 0,70 = − 0,45 < 0
  g(1) = 1 − 0 = 1 > 0
  g(1/2) < g(α) = 0 < g(1)
  comme g est croissante : 1/2 < α < 1

Partie A : I = [ 1/2 ; 1 ] ; f : I → ℜ, x → f(x) = x − x²/4 − ln(x) / 4

• Etude de f :
  • variation de f : f '(x) = 1 − x/2 − 1/(4x) = ( 4x − 2 x² − 1 ) / (4x)
    • 4 x > 0
    • Δ = 16 − 8 = 8
    • racines = ( − 4 ± 2 √2 ) / (− 4)
    • racines = { r₁ = 1 − 1/√2 , r₂ = 1 + 1/√2 }
    • 1 est entre les 2 racines, mais position de 1/2 par rapport à la racine inférieure ?
    • 1 − 1/√2 = ( 2 − √2 ) / 2
    • or √2 = 1,414 > 1
    • 2 − √2 < 1
    • r₁ < 1/2
    • I est compris entre les 2 racines
    • f '(x) est du signe contraire de a=−2 entre les 2 racines soit positif.
  • f(1/2) = ( 2 − 1/4 + 0,70 ) / 4 ∼ (2,70 − 0,25)/4 = 2,45/4 ∼ 0,61 > 1/2
    f(1) = ( 4 − 1 + 0 ) / 4 = 3/4 = 0,75 < 1
    1/2 < f(1/2) < f(1) < 1
  • x appartient à I ( 1/2 ≤ x ≤ 1 ), Comme f est croissante : f(1/2) ≤ f(x) ≤ f(1)
    d'où : f(x) appartient à I
• Suite (u) : u₀ = 1 et u_n+1 = f(u_n) pour n appartient à N.
  • u₁ = f(u₀) = f(1) = 3/4
  • u₀ appartient à I
    supposons que u_n appartienne à I, d'après le résultat de la question A1c : f(u_n) appartient à I : soit u_n+1 appartient à I
    donc u_n appartient à I est vrai pour tout n ≥ 0
  • variation de u_n :
    • u₀ > u₁ : la suite décroît entre ses 2 premiers termes
    • supposons que u_n−1 > u_n
      comme f est croissante : f(u_n−1) > f(u_n)
      soit : u_n > u_n+1 : la suite est décroissante pour le terme suivant
    • donc la suite est toujours décroissante
  • limite de u_n :
    • la suite (u) est décroissante et minorée par 1/2 : donc elle converge.
    • La limite de (u) est un point fixe : L = f(L)
    • ???

Partie B : F : ℜ^*₊ × &real → ℜ, (x,y) → F(x,y) = x e^y + y ln(x)

• Etude de F :
  • Classe C¹ : dérivable 1 fois la dérivée étant continue ?
    F est formée de fonctions de classe C¹ ( et même de classe C^∞ : indéfiniment dérivables )
    et comme il n'y a pas d'opérations avec des restrictions comme la division ou la racine, F est de classe C¹
  • Point critique si : ∂F/∂x = 0 et ∂F/∂y = 0 simultanément ( pour un point M(x,y) )
    • ∂F/∂x = e^y + y / x = 0   =>   x = − y e^−y
    • ∂F/∂y = x e^y + ln(x) = 0   =>   − y e^−y e^y + ln(− y e^−y) = 0
• minimum de F ?

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