EML Eco 2010 Corrigé de l'exercice 3     ( énoncé,   corrigé )

• Analyse des données :
  • loi géométrique : P(X=k) = q^k−1 p
  • variables indépendantes
• I.1) Loi géométrique
  • P(X₁=k) = q^k−1 p
  • E(X₁) = 1 / p
  • V(X₁) = q / p²
• I.2) (Δ = 0) = (X₁ = X₂) = Union₁^∞ (X₁ = k) Intersection (X₂ = k)
  • P(Δ = 0) = ∑₁^∞ P(X₁ = k) × P(X₂ = k)
  • P(Δ = 0) = ∑₁^∞ q^k−1 p × q^k−1 p
  • P(Δ = 0) = ∑₁^∞ q^2k−2 p² = p² ∑₁^∞ (q²)^k−1
  • P(Δ = 0) = p² × 1 / ( 1 − q²)
  • P(Δ = 0) = p / ( 1 + q ) = p / ( 2 − p )
• I.3.a) (X₁ − X₂ = n) = Union_k=1^∞ (X₂ = k) Intersection (X₁ = n + k)
  • P(X₁ − X₂ = n) = ∑_k=1^∞ P(X₂ = k) × P(X₁ = n + k)
• I.3.b) (Δ = n) = (X₁ − X₂ = n) Union (X₂ − X₁ = n)
  • P(Δ = n) = 2 P(X₁ − X₂ = n)
  • P(X₁ − X₂ = n) = ∑_k=1^∞ P(X₂ = k) × P(X₁ = n + k)
  • P(X₁ − X₂ = n) = ∑_k=1^∞ q^k−1 p× q^n+k−1 p
  • P(X₁ − X₂ = n) = ∑_k=1^∞ q^n+2k−2 p²
  • P(X₁ − X₂ = n) = qⁿ p² ∑_k=1^∞ q^2k−2
  • P(X₁ − X₂ = n) = qⁿ p² ∑_k=1^∞ (q²)^k−1
  • P(X₁ − X₂ = n) = qⁿ p² × 1 / (1 − q²) = qⁿ p / (1 + q)
  • P(Δ = n) = 2 p qⁿ / (1 + q)
• I.4.a) Espérance de Δ : E(Δ) = ∑ n P(Δ = n)
  • E(Δ) = ∑ n 2 p qⁿ / (1 + q) = 2 p / (1 + q) × ∑ n qⁿ
  • A = ∑_n=1 qⁿ = q / ( 1 − q )
  • A' = ∑_n=1 n qⁿ⁻¹ = [ 1 − q + q ] / ( 1 − q )² = 1 / ( 1 − q )²
  • E(Δ) = 2 p / (1 + q) × q / ( 1 − q )²
  • E(Δ) = 2 q / [ (1 + q) ( 1 − q ) ] = 2 q / ( 1 − q² )
• I.4.b) E( (X₁ − X₂)² )
  • E( (X₁ − X₂)² ) = E( X₁² − 2 X₁ X₂ + X₂² )
  • E( (X₁ − X₂)² ) = E( X₁² ) − 2 E( X₁ X₂ ) + E( X₂² )
  • E( X₁ X₂ ) = ∑_i,j i j P(X₁=i) P(X₂=j) = ∑_i i P(X₁=i) ∑_j j P(X₂=j) = E(X₁) E(X₂)
  • E( (X₁ − X₂)² ) = E( X₁² ) − 2 E( X₁)² + E( X₁² )
  • E( (X₁ − X₂)² ) = 2 ( E( X₁² ) − E( X₁)² ) = 2 V(X₁)
  • V(Δ) = E(Δ² ) − E(Δ)² = 2 q / p² − 4 q² / ( 1 − q² )²
  • V(Δ) = 2 q / p² − 4 q² / [ p² ( 1 + q )² ]
  • V(Δ) = [ 2 q ( 1 + q )² − 4 q² ] / [ p² ( 1 + q )² ]
  • V(Δ) = 2 q [ ( 1 + q )² − 2 q ] / [ p² ( 1 + q )² ]
  • V(Δ) = 2 q ( 1 + q² ) / [ p² ( 1 + q )² ]
• I.5) A <=> ( X₃ > Δ ) ?
  • remarque : A = B où A et B sont deux propositions logiques est équivalent à A <=> B
  • rappel : A = ( min ( X₁, X₂ ) + X₃ ) > max ( X₁, X₂ )
  • soit : A = ( X₃ > max ( X₁, X₂ ) − min ( X₁, X₂ ) )
  • Cas X₁ ≤ X₂ :
    • le client C₃ va au guichet 1 : A = ( X₁ + X₃ > X₂ )
    • Δ = X₂ − X₁ ≥ 0
    • min ( X₁, X₂ ) = X₁
    • max ( X₁, X₂ ) = X₂
    • A = ( X₁ + X₃ > X₂ ) = ( X₃ > X₂ − X₁ = Δ )
  • Cas X₂ ≤ X₁ :
    • le client C₃ va au guichet 2 : A = ( X₂ + X₃ > X₁ )
    • Δ = X₁ − X₂ ≥ 0
    • min ( X₁, X₂ ) = X₂
    • max ( X₁, X₂ ) = X₁
    • A = ( X₂ + X₃ > X₁ ) = ( X₃ > X₁ − X₂ = Δ )
  • Dans tous les cas : A = ( X₃ > Δ )
• I.6.a) A = ( X₃ > Δ )
  • A = Union_k [ ( Δ = k ) Intersection ( X₃ > k ) ]
    Δ peut prendre les valeurs [[ 0 ; ∞ ]] donc la sommation commence à k=0
  • remarque : on aurait pu prendre :
    A = Union_k ( X₃ = k ) Intersection ( Δ < k )
    mais ( Δ < k ) est beaucoup plus dur à calculer que ( X₃ > k )
  • P(A) = ∑_k=0 [ P( Δ = k ) × P( X₃ > k ) ]
• I.6.b) P(A) = ∑_k=0^∞ [ P( Δ = k ) × ∑_n=k+1^∞ P( X₃ = n ) ]
  • Attention : P( Δ = k ) a 2 formes différentes selon que k = 0 ou k > 0 ( facteur 2 )
  • P(A) = P( Δ = 0 ) × P( X₃ > 0 ) + ∑_k=1 [ P( Δ = k ) × P( X₃ > k ) ]
  • Calcul du terme P( X₃ > k ) : ∑_n=k+1^∞ P( X₃ = n ) = ∑_n=k+1^∞ qⁿ⁻¹ p = p q^k / ( 1 − q ) = q^k
  • Calcul du terme : P( Δ = 0 ) × P( X₃ > 0 ) = P( Δ = 0 ) = p / (1 + q)
  • Calcul du terme : B = ∑_k=1 [ P( Δ = k ) × P( X₃ > k ) ]
    • B = ∑_k=1^∞ [ 2 p q^k / (1 + q) × q^k ]
    • B = 2 p / (1 + q) ∑_k=1^∞ q^2k
    • B = 2 p / (1 + q) ∑_k=1^∞ (q²)^k
    • B = 2 p q² / (1 + q) × 1 / ( 1 − q² )
    • B = 2 q² / (1 + q)²
  • P(A) = p / (1 + q) + 2 q² / (1 + q)²
  • P(A) = [ p (1 + q) + 2 q² ] / (1 + q)²
  • P(A) = [ (1 − q) (1 + q) + 2 q² ] / (1 + q)²
  • P(A) = [ 1 − q² + 2 q² ] / (1 + q)²
  • P(A) = ( 1 + q² ) / (1 + q)²
  • calculs infaisables sans erreur
• II.1) Loi exponentielle : f(y) = λ e^{−λ y}
  • y < 0 : f(y) = 0
  • y ≥ 0 : f(y) = λ e^{−λ y}
  • E(Y) = 1 / λ
    • rappel du cours et de l'intégration par parties
    • E(Y) = ∫₀^∞ y λ e^{−λ y} dy
    • ∫ u' v = u v ] − ∫ u v'     ici : u = −e^{−λ y} et : v = y
    • E(Y) = − y e^{−λ y} ]₀^∞ − ∫₀^∞ −e^{−λ y} dy
    • − y e^{−λ y} ]₀^∞ = 0
    • E(Y) = − ∫₀^∞ −e^{−λ y} dy = ∫₀^∞ e^{−λ y} dy = e^{−λ y} / (−λ) ]₀^∞
    • E(Y) = 1 / λ
  • V(Y) = 1 / λ²
• II.2.a) Z = Y / X
  • Sur le sous-domaine ( X = k ; y = k t < Y < y + dy = k t + dy ) :
    P( X = k ; y = k t < Y < y + dy = k t + dy ) = P(X = k) × f ( Y = k t ) dy
  • formule des probabilités totales
  • ( Z ≥ t ) = ( Y ≥ t X ) = Union_X (X = k) Intersection ( Y ≥ t k )
  • P( Z ≥ t ) = ∑_k P(X = k Intersection Y ≥ t k )
  • P( Z ≥ t ) = ∑_k P(X = k) × P( Y ≥ t k )
• II.2.b) P( Z ≥ t ) = ∑_k P(X = k) × P( Y ≥ t k )
  • P( Z ≥ t ) = ∑_k q^k−1 p ∫_kt^∞ λ e^{−λ y} dy
  • P( Z ≥ t ) = ∑_k q^k−1 p ( − e^{−λ y} ]_kt^∞ )
  • P( Z ≥ t ) = ∑_k q^k−1 p e^{−λ k t}
  • P( Z ≥ t ) = p ∑_k q^k−1 (e^{−λ t})^k
  • P( Z ≥ t ) = p (e^{−λ t}) ∑_k (q e^{−λ t})^k−1
  • P( Z ≥ t ) = p (e^{−λ t}) × 1 / ( 1 − q e^{−λ t} )
  • P( Z ≥ t ) = p e^{−λ t} / ( 1 − q e^{−λ t} )
• II.2.c) Z admet une densité si G(t) est dérivable à dérivée positive
  • t ≥ 0 : G(t) = P( Z < t ) = 1 − P( Z ≥ t ) = 1 − p e^{−λ t} / ( 1 − q e^{−λ t} )
  • t < 0 : G(t) = 0
  • t ≥ 0 : 0 < q < 1 et 0 < e^{−λ t} < 1 => 0 < q e^{−λ t} < 1
    le dénominateur ( 1 − q e^{−λ t} ) > 0 n'est jamais nul.
  • raccordement en t = 0 : limite quand t → 0⁺ de G(t) = 1 − p / ( 1 − q ) = 1 − p / p = 0
  • g(t) = G'(t) = ( u' v − u v' ) / v² avec u = − p e^{−λ t} et v = ( 1 − q e^{−λ t} )
  • u' = λ p e^{−λ t} et v' = λ q e^{−λ t}
  • g(t) = [ λ p e^{−λ t} ( 1 − q e^{−λ t} ) + p e^{−λ t} λ q e^{−λ t} ] / ( 1 − q e^{−λ t} )²
  • g(t) = [ λ p e^{−λ t} − λ p q e^{−2λ t} + p q λ e^{−2λ t} ] / ( 1 − q e^{−λ t} )²
  • t ≥ 0 : g(t) = [ λ p e^{−λ t} ] / ( 1 − q e^{−λ t} )² on a bien : g(t) ≥ 0
  • t < 0 : g(t) = 0

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