Concours ESC 2009

• Etude de fonction
  • Etudier les variations et limites de la fonction h(x) = x⁴ − 4 x + 1
  • En déduire que l'équation (E) : x⁴ − 4 x + 1 = 0 admet exactement 2 solutions réelles α et β ( on prendra α < β )
  • Justifier que α appartient à [ 0 ; 1 [ et que β > 0
• Etude de la suite : u₀ = 0 ; u_n+1 = ( uⁿ + 1 ) / 4
  Soit g(x) = ( x⁴ + 1 ) / 4 définie sur [ 0 ; 1 ]
  • Etudier les variations et les valeurs aux bornes de g(x)
  • Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n : 0 ≤ uⁿ ≤ u_n+1 ≤ 1
  • Vérifier que g(α) = α
  • Justifier que la suite (uⁿ) converge vers α
  • Ecrire un programme Pascal qui demande un entier n et affiche la valeur uⁿ.
• Etude de la fonction de 2 variables : f(x,y) = x⁵ / 5 − 2 x² + 4 x y − 4 x y² définie sur le domaine ] 0 ; 1 [ × ] 0 ; 1 [
  • Calculer les dérivées premières de f
  • En déduire que le seul point critique de f est A = ( α, 1/2 ) où α est le réel trouvé dans le premier exercice.
  • Calculer les dérivées secondes de f
  • Montrer que f présente un maximum local au point A
• Substitut provisoire à l'étude de f(x,y) :
  • Démontrer que h(x) (du premier exercice) présente un minimum en x = 1 en utilisant la dérivée seconde de h
  • calculer les dérivées des 2 fonctions :
    • f_a(x) = x⁵ / 5 − 2 x² + 4 x a − 4 x a²
    • f_b(x) = b⁵ / 5 − 2 b² + 4 b x − 4 b x²
  • résoudre avec (x,y) dans le domaine ] 0 ; 1 [ × ] 0 ; 1 [ le système :
    • x⁴ − 4 x + 4 y − 4 y² = 0
    • 4 x − 8 x y = 0

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