Espaces Vectoriels

• les exemples suivants sont dans l'espace à 3 dimensions.
• un espace vectoriel est engendré par une base de vecteurs :
  exemple de l'espace 3D : B₀ = ( i, j, k )
  tout vecteur de l'espace est une combinaison linéaire des vecteurs de base : V = x i + y j + z k noté ( x, y, z )
  cette décomposition est unique => 2 vecteurs sont égaux s'ils ont les mêmes composantes.
  la dimension de l'Espace Vectoriel est égale au nombre de vecteurs de la base.
• changement de base : au lieu de la base B₀ = ( i, j, k ), on peut prendre une autre base : B₁ = ( (i+j), j, k )
  les composantes des vecteurs dépendent de la base choisie.
  Il faut toujours savoir dans quelle base on travaille.
  • V = x i + y j + z k = (x, y, z)_B0
  • V = a (i+j) + b j + c k = a i + (a + b) j + c k
  • => x = a     => a = x
  • => y = a + b     => b = y − x
  • => z = c     => c = z
  • V = x (i+j) + (y−x) j + z k = ( x, y−x, z )_B1
• vecteurs liés :
  attention : si les 3 vecteurs (u, v, w) sont dans un même plan (dimension 2), ils ne forment pas une base
  car : w = a u + b v
  • un espace de dimension n possède n vecteurs de base (le plan a 2 vecteurs de base).
  • tout vecteur du plan (donc w) peut s'exprimer en fonction des 2 vecteurs de base du plan.
  Si il existe ( a, b, c ) ≠ ( 0, 0, 0 ) tels que a u + b v + c w = 0 , alors les 3 vecteurs ( u, v, w ) sont liés :
  • on peut exprimer l'un d'eux en fonction des autres. (Il est inutile)
  Si la relation a u + b v + c w = 0 => a = b = c = 0, alors les 3 vecteurs ( u, v, w ) sont indépendants :
  • ils forment une famille libre
  • ils engendrent un (sous)Espace Vectoriel de dimension 3 (Ils sont tous utiles)
• Un exemple courant d'espace vectoriel est celui des polynômes de degré ≤ n :
  prenons n = 3
  Une base B₀ est ( 1, x, x², x³ ). Elle s'appelle base canonique ! c'est à dire naturelle.
  Comme il y a 4 vecteurs de base, sa dimension est 4 (le degré + 1)
  En effet : tout polynôme de degré ≤ 3 est une combinaison linéaire de ces 4 vecteurs.
  • P(x) = a + b x + c x² + d x³ = a P₀ + b P₁ + c P₂ + d P₃
  • soit P(x) = ( a, b, c, d ) dans la base B₀
  • et Q(x) = ( α, β, γ, δ ) dans la base B₀
  • la somme de 2 polynômes P(x) + Q(x) est bien :
  • P(x) + Q(x) = ( a+α, b+β, c+γ, d+δ )
  • et k P(x) = ( k a, k b, k c, k d )