exercice 28 énoncé

• Partie II : énoncé :
  • On effectue des tirages dans 3 urnes :
    • une urne Blanche contient 1 boule Blanche et 3 boules Noires
    • une urne Noire contient 3 boules Noires et 1 boule Verte
    • une urne Verte contient 1 boule Noire et 3 boules Vertes
  • Pour le premier tirage, on choisit une urne au hasard :
    On y prend une boule, on note sa couleur, puis on remet la boule dans l'urne dont elle provient.
  • Le second tirage a lieu dans l'urne ayant la même couleur que la boule du premier tirage :
    On y prend une boule, on note sa couleur, puis on remet la boule dans l'urne dont elle provient.
  • On continue : le (n+1)^ème tirage s'effectue dans l'urne ayant la couleur de la boule obtenue au n^ème tirage et on remet la boule dans l'urne dont elle provient.
  • Pour tout entier naturel ≠ 0 :
    • évènement B_n = "Le n^ème tirage donne une boule Blanche"
    • évènement N_n = "Le n^ème tirage donne une boule Noire"
    • évènement V_n = "Le n^ème tirage donne une boule Verte"
• Comprendre le problème : arbre

  choix de l'urne	tirage 1	proba.
  --- 1/3 ---> urne B	--- PB(B)=1/4 ---> urne B	P(UB INTER B2) = 1/3 × 1/4 = 1/12
  	--- PB(N)=3/4 ---> urne N	P(UB INTER N2) = 1/3 × 3/4 = 3/12
  --- 1/3 ---> urne N	--- PN(N)=3/4 ---> urne N	P(UN INTER N2) = 1/3 × 3/4 = 3/12
  	--- PN(V)=1/4 ---> urne V	P(UN INTER V2) = 1/3 × 1/4 = 1/12
  --- 1/3 ---> urne V	--- PV(N)=1/4 ---> urne N	P(UV INTER N2) = 1/3 × 1/4 = 1/12
  	--- PV(V)=3/4 ---> urne V	P(UV INTER V2) = 1/3 × 3/4 = 3/12

• Question II.1) Calculer P(B₂), P(N₂), P(V₂)
  • Probabilités totales :
  • Comme l'urne est tirée au hasard pour le premier tirage : P(U_B) = P(U_N) = P(U_V) = 1/3
  • P(B₁) = P(U_B INTER B₁) = 1/12
  • P(N₁) = P(U_B INTER N₁) + P(U_N INTER N₁) + P(U_V INTER N₁) = ( 3 + 3 + 1 ) / 12 = 7/12
  • P(V₁) = P(U_N INTER V₁) + P(U_V INTER V₁) = ( 1 + 3 ) / 12 = 4/12
  • On vérifie que la somme ( 1/12 + 7/12 + 4/12 ) = 12/12 = 1
• Question II.2) Calculer P(B₂), P(N₂), P(V₂)

  choix de l'urne	tirage 1	proba.
  --- P(B1) ---> urne B	--- PB(B)=1/4 ---> urne B	P(B1 INTER B2) = P(B1) × 1/4
  	--- PB(N)=3/4 ---> urne N	P(B1 INTER N2) = P(B1) × 3/4
  --- P(N1) ---> urne N	--- PN(N)=3/4 ---> urne N	P(N1 INTER N2) = P(N1) × 3/4
  	--- PN(V)=1/4 ---> urne V	P(N1 INTER V2) = P(N1) × 1/4
  --- P(V1) ---> urne V	--- PV(N)=1/4 ---> urne N	P(V1 INTER N2) = P(V1) × 1/4
  	--- PV(V)=3/4 ---> urne V	P(V1 INTER V2) = P(V1) × 3/4

  • Probabilités totales :
  • P(B₂) = P(B₁ INTER B₂) = 1/12 × 1/4 = 1/48
  • P(N₂) = P(B₁ INTER N₂) + P(N₁ INTER N₂) + P(V₁ INTER N₂)
              = ( 1/12 × 3/4 ) + ( 7/12 × 3/4 ) + ( 4/12 × 1/4 ) = ( 3 + 21 + 4 ) / 48 = 28 / 48 = 7/12
  • P(V₂) = P(N₁ INTER V₂) + P(V₁ INTER V₂) = ( 7/12 × 1/4 ) + ( 4/12 × 3/4 ) = ( 7 + 12 ) / 48 = 19 / 48
  • On vérifie que la somme ( 1/48 + 28/48 + 19/48 ) = 48/48 = 1
• Question II.3) Montrer que pour n > 0 : P(B_n+1) = (1/4) P(B_n)
  • B_n+1 = B_n INTER B_n+1
  • P(B_n+1) = P(B_n INTER B_n+1) = P(B_n) × P_Bn(B_n+1) = P(B_n) × (1/4)
  • Suite géométrique : P(B₁) = 1/12 et P(B_n+1) = (1/4) P(B_n)
    • P(B_n) = A (1/4)ⁿ
    • 1/12 = A (1/4)¹   => A = 1/3
    • P(B_n) = (1/3) × (1/4)ⁿ
• Question II.4) On pose : ^tX_n = ( P(B_n), P(N_n), P(V_n) )
  établir une relation X_n+1 = M X_n
  • Dans le tableau de la question II.2,
    on peut remplace le tirage 1 par le tirage n et le tirage 2 par le tirage (n+1); on obtient :
  • Probabilités totales :
  • P(B_n+1) = P(B_n INTER B_n+1) = (1/4) P(B_n)
  • P(N_n+1) = P(B_n INTER N_n+1) + P(N₁ INTER N_n+1) + P(V_n INTER N_n+1)
                  = (3/4) P(B_n) + (3/4) P(N_n) + (1/4) P(V_n)
  • P(V_n+1) = P(N_n INTER V_n+1) + P(V_n INTER V_n+1) = (1/4) P(N_n) + (3/4) P(V_n)

    P(Bn+1)	=	(1/4)	0	0	×	P(Bn)
    P(Nn+1)		(3/4)	(3/4)	(1/4)		P(Nn)
    P(Vn+1)		0	(1/4)	(3/4)		P(Vn)

• Question II.5) Montrer que X_n = Mⁿ⁻¹ X₁
  • On connaît la relation de récurrence : X_n+1 = M X_n
  • X₁ est le premier terme connu de la suite
  • supposons que X_n = Mⁿ⁻¹ X₁, alors X_n+1 = M X_n = M × Mⁿ⁻¹ X₁ = Mⁿ X₁
  • On sait que la relation est vraie pour n = 1 : X₁ = M⁰ X₁ = I X₁ = X₁
  • En supposant la relation vraie à l'ordre n, on en d"duite qu'elle est vraie à l'ordre (n+1). Comme elle est vraie pour n = 1, elle est vraie pour tout n ≥ 1.
• Question II.6) en déduire P(N_n) et P(V_n) ainsie que leurs limites quand n → ∞
  • Calcul de Mⁿ : dans la partie I, on a démontrer que D = P⁻¹ M P
  • en multipliant à gauche par P et à droite par P⁻¹ : P D P⁻¹ = M
  • Mⁿ = P Dⁿ P⁻¹
  • comme D est une matrice diagonale, Dⁿ est obtenue en élevant les termes de la diagonale à la puissance n
  • Calcul de P⁻¹ : Y = I Y = P X en multipliant à gauche par P⁻¹ <=> P⁻¹ Y = I X
    Traitement de la première colonne : élimination des termes non diagonaux par combinaison de lignes

    P =	1	0	0	I =	1	0	0	ok
    	−2	1	−1		0	1	0	2 L1 + L2 → L2
    	1	1	1		0	0	1	−L1 + L3 → L3

    
    Mise à jour de la première colonne et Traitement de la deuxième colonne.

    	1	0	0		1	0	0	ok
    	0	1	−1		2	1	0	ok
    	0	1	1		−1	0	1	L3 − L2 → L3

    
    Mise à jour de la deuxième colonne et Traitement de la troisième colonne.

    	1	0	0		1	0	0	ok
    	0	1	−1		2	1	0	L2 + (1/2) L3 → L2
    	0	0	2		−3	−1	1	(1/2) L3 → L3

    
    Mise à jour de la troisième colonne.

    I =	1	0	0	P−1 =	1	0	0	ok
    	0	1	0		1/2	1/2	1/2	ok
    	0	0	1		−3/2	−1/2	1/2	ok

  • Vérification que P P⁻¹ = I ( car il y a toujours des erreurs de calcul au premier essai )
  • Calcul de : Mⁿ⁻¹ = P Dⁿ⁻¹ P⁻¹

    P			×	Dn−1			×	P−1			=
    1	0	0		1/4n−1	0	0		1	0	0
    −2	1	−1		0	1	0		1/2	1/2	1/2
    1	1	1		0	0	1/2n−1		−3/2	−1/2	1/2

    Résultat : Mⁿ⁻¹ = P Dⁿ⁻¹ P⁻¹

    Mn−1 = P Dn−1 P−1			×	X1
    1/4n−1	0	0		1/12
    −2/4n−1 + 1/2 + 3/2n	1/2 + 1/2n	1/2 − 1/2n		7/12
    1/4n−1 + 1/2 − 3/2n	1/2 − 1/2n	1/2 + 1/2n		4/12

  • ^t X_n = ( P(B_n), P(N_n), P(V_n) )
    • P(B_n) = 1/(3.4ⁿ)
    • P(N_n) = −2/(3.4ⁿ) + 1/24 + 3/(3.2ⁿ⁺²) + 7/24 + 7/(3.2ⁿ⁺²) + 4/24 − 4/(3.2ⁿ⁺²)
      P(N_n) = −2/(3.4ⁿ) + 1/2 + 6/(3.2ⁿ⁺²)
    • P(V_n) = 1/(3.4ⁿ) + 1/24 − 3/(3.2ⁿ⁺²) + 7/24 − 7/(3.2ⁿ⁺²) + 4/24 + 4/(3.2ⁿ⁺²)
      P(V_n) = 1/(3.4ⁿ) + 1/2 − 6/(3.2ⁿ⁺²)
  • Vérification : P(B_n) + P(N_n) + P(V_n) = 1 : ok
  • limites quand n → ∞ :
    • P(B_n) → 0
    • P(N_n) → 1/2
    • P(V_n) → 1/2

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