intégration par parties

• (u v)' = u' v + u v'
• => ∫_a^b (u v)' dx = ∫_a^b u' v dx + ∫_a^b u v' dx
• ∫_a^b u' v dx = [ u v ]_a^b − ∫_a^b u v' dx
• à utiliser pour intégrer un produit de 2 fonctions dont
  • l'une a une dérivée simple : comme xⁿ, ln(x)
  • l'autre a une intégrale simple : comme e^x
• exemple d'intégrale bornée : I = ∫_a^b x e^x dx : u' = e^x et v = x
  u = e^x et v' = 1
  I = [ u v ]_a^b − ∫_a^b u v' dx = [ e^x x ]_a^b − ∫_a^b e^x dx
  I = b e^b − a e^a − [ e^x ]_a^b
  I = b e^b − a e^a − e^b + e^a
• exemple de primitive : F(x) = ∫ ln(x) dx :
  • u' = 1 et v = ln(x)
  • u = x et v' = 1 / x
  • F(x) = [ u v ] − ∫ u v' dx = [ x ln(x) ] − ∫ x / x dx = x ln(x) − ∫ dx = x ln(x) − x
• Soit : I_n = ∫₀^+∞ xⁿ e^−x dx
  Trouver une relation de récurrence entre I_n et I_n−1, en déduire I_n en fonction de n
  • u = xⁿ que l'on va dériver (jusqu'à disparition après n dérivations) u' = n xⁿ⁻¹
  • v' = e^−x que l'on va intégrer : v = − e^−x
  • I_n = ∫₀^+∞ u v' dx = [ u v ]₀^+∞ − ∫₀^+∞ u' v dx
  • I_n = [ − xⁿ e^−x ]₀^+∞ + ∫₀^+∞ n xⁿ⁻¹ e^−x dx
  • I_n = 0 + n ∫₀^+∞ xⁿ⁻¹ e^−x dx = n I_n−1
  • I₀ = ∫₀^+∞ e^−x = [ − e^−x ]₀^+∞ = 1
  • D'où : I_n = n!