Diagonalisation des matrices Exercice 1

• Diagonaliser la matrice A de l'application f suivante :
  • f ( e₁ ) = e₁ + e₂ + e₃
  • f ( e₂ ) = e₁ + e₂ + e₃
  • f ( e₃ ) = e₁ + e₂ + e₃

  	f ( e1 )	f ( e2 )	f ( e3 )
  A =	1	1	1	e1
  	1	1	1	e2
  	1	1	1	e3

• La matrice est symétrique : elle est donc diagonalisable. ( théorème du cours )
• Recherche des vecteurs propres : A X = λ X
  • Rappels sur les vecteurs propres :
  • Ils sont transformés en un multiple d'eux-mêmes : A X = λ X
  • Les vecteurs propres sont définis à une constante multiplicative près :
    A X = λ X   =>   A (k X) = λ (k X) quel que soit k
  • Dans la base propre, f est représentée par une matrice diagonale.
  Soit : ( A − λ I ) X = 0
  • (1 − λ) x + y + z = 0
  • x + (1 − λ) y + z = 0
  • x + y + (1 − λ) z = 0
  • somme des 3 équations :
  • (3 − λ) ( x + y + z ) = 0
    •   =>   λ = 3
    • vecteur propre associé : on remplace λ par 3 dans le système à 3 équations précédent :
      il reste 2 équations indépendantes
    • −2 x + y + z = 0
    • x − 2 y + z = 0
    • x + y − 2 z = 0
    • => ^tX₁ = ( 1, 1, 1 )
  • ou élimination de z entre les 2 premières équations :
  • λ ( − x + y ) = 0
  • ou élimination de z entre les 2 dernières équations :
  • λ ( − y + z ) = 0
    •   =>   λ = 0 (valeur propre double)
    • vecteurs propres associés : on remplace λ par 0 dans le système à 3 équations précédent :
      il reste 1 équation indépendante
    • 2 vecteurs propres associés :
    • x + y + z = 0
    • On choisit les 2 vecteurs suivants : ^tX₂ = ( 1, −1, 0 ) et ^tX₃ = ( 1, 0, −1 )

  	X1	X2	X3
  P =	1	1	1	e1
  	1	−1	0	e2
  	1	0	−1	e3

• Calcul de P⁻¹

  P =	1	1	1	I =	1	0	0
  	1	−1	0		0	1	0		L2 = L2 − L1
  	1	0	−1		0	0	1		L3 = L3 − L1

  	1	1	1		1	0	0
  	0	−2	−1		−1	1	0		L2 = −(1/2) L2
  	0	−1	−2		−1	0	1

  	1	1	1		1	0	0		L1 = L1 − L2
  	0	1	1/2		1/2	−1/2	0
  	0	−1	−2		−1	0	1		L3 = L3 + L2

  	1	0	1/2		1/2	1/2	0
  	0	1	1/2		1/2	−1/2	0
  	0	0	−3/2		−1/2	−1/2	1		L3 = −2/3 L3

  	1	0	1/2		1/2	1/2	0		L1 = L1 −1/2 L3
  	0	1	1/2		1/2	−1/2	0		L2 = L2 −1/2 L3
  	0	0	1		1/3	1/3	−2/3

  I =	1	0	0	P−1 =	1/3	1/3	1/3
  	0	1	0		1/3	−2/3	1/3
  	0	0	1		1/3	1/3	−2/3

• Vérification : P × P⁻¹ = I   ( car il y a toujours une erreur de calcul quelque part )
• Calcul de D = P⁻¹ A P   ( formule à connaître par coeur ) où :
  • A est la matrice de f dans l'ancienne base,
  • D est la matrice de f dans la nouvelle base (ici, la base propre),
  • et P la matrice de passage de l'ancienne base à la nouvelle.

  	f(X1)	f(X2)	f(X3)
  P =	3	0	0	X1
  	0	0	0	X2
  	0	0	0	X3

  • significations de D, P, A, P⁻¹ :
  • Définition de D : Y'_B' = D X'_B'   ( f dans la base propre B' )
  • On part de X'_B'   ( le vecteur V dans la base propre B' )
  • On le convertit dans la base B ( de la matrice A ) : X_B = P X'_B'
  • On lui applique la matrice A : Y_B = A X_B
  • On reconvertit le résultat dans la base propre B' : Y'_B' = P⁻¹ Y_B
  • Soit en remplaçant : Y'_B' = P⁻¹ A P X'_B' = D X'_B'
  • l'ordre des transformations est de la droite vers la gauche
• Exprimer A en fonction de D, P et P⁻¹   ( faire un calcul formel )
  • produit par P à gauche : P D = A P
  • produit par P⁻¹ à droite : P D P⁻¹ = A
    A = P D P⁻¹
• Intérêt de la diagonalisation : Aⁿ = P Dⁿ P⁻¹