somme ( i + j ) sur un carré (i,j)

• notations :
  • S_k = ∑_i=1ⁱ⁼ⁿ i^k
  • S₀ = ∑_i=1ⁱ⁼ⁿ 1 = n ( attention : ici la somme commence à 1 et non 0 )
• S(n) = ∑_i=1ⁱ⁼ⁿ ∑_j=1^j=n ( i + j )³
• Dans la suite, on remplace ∑_i=1ⁱ⁼ⁿ par ∑_i car les bornes ne changent jamais.
• S(n) = ∑_i ∑_j ( i³ + 3 i² j + 3 i j² + j³ )
• fractionnement de la somme :
  S(n) = ∑_i ∑_j i³ + ∑_i ∑_j 3 i² j + ∑_i ∑_j 3 i j² + ∑_i ∑_j j³
• exemple de traitement du terme produit 3 i² j : ( cours )
  • sortie du facteur multiplicatif constant 3
    ∑_i ∑_j 3 i² j   =   3 ∑_i ∑_j i² j
  • séparation des variables i et j qui sont indépendantes : i est une constante pour la somme sur j
      =   3 ∑_i i² ∑_j j   =   3 ( ∑_i i² ) × ( ∑_j j )
  • on reconnaît la somme S₁ :
      =   3 ∑_i i² S₁
  • S₁ est une constante que l'on peut sortir, puis on reconnaît S₂ :
      =   3 S₁ ∑_i i²   =   3 S₁ S₂
• application à tous les termes :
  S(n) = ∑_i i³ ∑_j 1 + 3 ∑_i i² ∑_j j + 3 ∑_i i ∑_j j² + ∑_i ∑_j j³
  S(n) = ∑_i i³ S₀ + 3 ∑_i i² S₁ + 3 ∑_i i S₂ + ∑_i S₃
  S(n) = S₃ S₀ + 3 S₂ S₁ + 3 S₁ S₂ + S₀ S₃
  S(n) = 2 ( S₃ S₀ + 3 S₂ S₁ )
• remplacement des termes connus :
  S(n) = 2 ( n²(n+1)² / 4 × n + 3 n(n+1)(2n+1)/6 × n(n+1)/2 )
• factorisation :
  S(n) = 2 n² (n+1)² ( n / 4 + 3 (2n+1)/6 × 1/2 )
  S(n) = 2 n² (n+1)² ( n + (2n+1) ) / 4
  S(n) = 2 n² (n+1)² (3n+1) / 4
• résultat :
  S(n) = n²(n+1)² (3n+1) / 2
• formule vérifiée pour n = 1 et 2 :
  • S₁ = 2³ = 8 = 1²×2²×4/2
  • S₂ = 2³ + 2×3³ + 4³ = 126 = 2²×3²×7/2

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