Suite arithmético-géométrique
- formulation par récurrence : u0 donné ;
un+1 = a un + b
- Objectif :
trouver la valeur explicite de un ainsi que sa limite quand n → ∞ ?
- recherche de la limite possible de un ( point fixe ) :
- L = a L + b
- L = b / ( 1 − a )
- si la suite converge, elle convergera vers L
- Cas particulier : un est la suite constante un = L
si u0 = L
- Changement de suite : nouvelle suite = écart à la limite L
- définition : vn = un − L
- si la suite vn converge, elle convergera vers 0
un+1 | = | a un + b |
× 1 |
L | = | a L + b | × (−1) |
un+1 − L | = |
a ( un − L ) |
vn+1 | = |
a vn |
- vn = un − L est une suite géométrique
de raison a ( converge vers 0 si | a | < 1 )
- => valeur explicite : vn = v0 an
- Soit la forme simple à mémoriser :
un − L = [ u0 − L ] an
- un = [ u0 − L ] an + L
- en remplaçant L par sa valeur : un =
[ u0 − b / ( 1 − a ) ] an + b / ( 1 − a )
- converge vers L = b / ( 1 − a ) si : | a | < 1
( car la suite géométrique vn converge )
- diverge si : | a | > 1 ou a = −1
( car la suite géométrique vn diverge )
- Cas particuliers :
- si a = 1 : un+1 = un + b
on reconnaît une suite arithmétique : un = u0 + n b
- diverge si b ≠ 0
- converge vers u0 si b = 0
( suite stationnaire un = u0 )
- si b = 0 : un+1 = a un
on reconnaît une suite géométrique : un = u0 a n
retour au menu :
cours