IFMK de Berck sur Mer Physique 2009   énoncé   corrigé
Exercice 1 : Tension d'un fil entre 2 masses

• Enoncé : Un solide de masse M_A est posé sur une table horizontale.
  • Il est relié par l'intermédiaire d'un fil inextensible et de masse négligeable à un solide B de masse M_B.
  • Le solide B lâché sans vitesse initiale entraîne le solide A.
  • On suppose que le fil reste toujours tendu et que tous les frottements sont négligeables.
  • On admettra que la tension du fil a la même valeur sur chaque brin de fil de part et d'autre de la poulie.
    C'est à dire que l'inertie de la poulie est négligeable
  • Données : M_A = 8,0 kg   M_B = 3,5 kg
    Les valeurs sont données avec 2 chiffres significatifs ( donc les résultats aussi )
  • On prendra g = 9,81 m.s⁻²
  • Déterminer la tension du fil (en N). ( en Newton : unité S.I. )
  •   a : 4,0   b : 24   c : 27   d : 32   e : 61   f : aucune réponse exacte
• Corrigé :
  • Analyse du système physique :
    • La masse M_A va se mettre à glisser car rien ne la retient.
    • La masse M_B va se mettre à descendre ( mais moins vite que si elle était seule : γ_B < g )
    • Le système n'est pas en équilibre : Il est accéléré.
    • Le fil est inextensible : la distance entre A et B est constante => x_A = x_B
    • Donc en dérivant : v_A = v_B et γ_A = γ_B ← C'est la clé du problème !
  • Bilan des forces sur M_A :
    • le poids de M_A = M_A g
    • La réaction de la table (perpendiculaire à la table) = − M_A g
    • La tension T du fil.
    • 2^ème loi de Newton : T = M_A γ_A
  • Bilan des forces sur M_B :
    • le poids de M_B = M_B g
    • La tension −T du fil.
    • 2^ème loi de Newton : M_B g − T = M_B γ_B
  • γ_A = γ_B donne :
    • T / M_A = ( M_B g − T ) / M_B
    • T / M_A = g − ( T / M_B )
    • T ( 1 / M_A + 1 / M_B ) = g
    • T = g M_A M_B / ( M_A + M_B )
      remarque : M_A M_B / ( M_A + M_B ) a la dimension d'une masse : une masse × une masse / une masse.
    • Application Numérique : T = 9,81 × 8,0 × 3,5 / ( 8,0 + 3,5 ) = 23,885
    • Le résultat est en Newton (N) puisque nous avons utilisé des unités S.I.
    • Comme les données comportent 2 chiffres, le résultat doit être arrondi à 2 chiffres : T = 24 ( réponse b )
• Complément : vérification des accélérations γ_A et γ_B
  • γ_A = T / M_A = g M_B / ( M_A + M_B )
  • γ_B = g − ( T / M_B ) = g − g M_A / ( M_A + M_B )
    γ_B = [ g ( M_A + M_B ) − g M_A ] / ( M_A + M_B )
    γ_B = g M_B / ( M_A + M_B )
    γ_B = γ_A
  • L'ensemble des 2 masses est soumis à la force g M_B , et son inertie est ( M_A + M_B )
    d'où son accélération : g M_B / ( M_A + M_B )

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