IFMK de Berck sur Mer Physique 2009   énoncé   corrigé
Exercice 2 : Poussée d'Archimède

• Enoncé : Un cube de bois de côté a=8,0 cm.
  • Il est relié à une sphère en acier de rayon r=1,0 cm
    Les valeurs sont données avec 2 chiffres significatifs ( donc les résultats aussi )
  • par un fil inextensible de masse négligeable.
  • Le système ainsi formé est plongé dans de l'eau de mer.
  • A l'équilibre, le cube émerge d'une hauteur h par rapport à la surface de l'eau de mer.
  • On ne tiendra pas compte de l'action de l'air sur la partie émergée du cube.
    C'est à dire que la poussée d'Archimède due à l'air est négligeable
  • Données : masse volumique du bois : ρ_B = 7,40.10² kg.m⁻³
    masse volumique de l'eau de mer : ρ_E = 1,03.10³ kg.m⁻³
    masse volumique de l'acier : ρ_A = 7,80.10³ kg.m⁻³
    volume d'une sphère de rayon r : V = (4/3) Π r³
  • Calculer la hauteur h (en cm) dont émerge le cube ( unité S.I. de longueur : le mètre = 10² cm )
  •   a : 1,2   b : 1,5   c : 1,8   d : 2,1   e : 2,3   f : aucune réponse exacte
• Corrigé :
  • Analyse du système physique :
    • Le système (cube + sphère) est soumis à 2 forces : son poids et la poussée d'Archimède due à l'eau.
    • A l'équilibre : ces 2 forces sont égales en valeur absolue.
    • La seule inconnue du problème est h
    • Dans les problèmes avec poussée d'Archimède, c'est la différence des densités qui est utile.
      On essaiera de la mettre en facteur.
  • Bilan des forces :
    • Poids = ( ρ_B V_B + ρ_A V_A ) g
    • Poussée d'Archimède = [ ρ_E ( V_{B immergé} + V_A ) ] g
      ATTENTION : La poussée d'Archimède dépend du volume immergé
    • V_B = a³ = 8³ cm³
    • V_A = (4/3) Π r³ = (4/3) Π cm³
    • V_{B immergé} = (a − h) a² = a³ − h a²
    • Poids / g = Poussée d'Archimède / g
    • ρ_B V_B + ρ_A V_A = ρ_E ( V_{B immergé} + V_A )
    • ρ_B a³ + ρ_A (4/3) Π r³ = ρ_E ( a³ − h a² + (4/3) Π r³ )
    • ( ρ_B − ρ_E ) a³ + ( ρ_A − ρ_E ) (4/3) Π r³ = − ρ_E h a²
    • h = [ ( ρ_E − ρ_B ) a³ + ( ρ_E − ρ_A ) (4/3) Π r³ ] / ( ρ_E a² )
    • ou bien : h = [ ( 1 − ρ_B/ρ_E ) a³ + ( 1 − ρ_A/ρ_E ) (4/3) Π r³ ] / a²
    • Application numérique : ( On va garder les unités car elles ne sont pas toutes S.I. )
      • ( ρ_E − ρ_B ) a³ = ( 1,03.10³ kg.m⁻³ − 7,40.10² kg.m⁻³ ) 8³ cm³ = 148480 kg.m⁻³ cm³
      • ( ρ_E − ρ_A ) (4/3) Π r³ = ( 1,03.10³ kg.m⁻³ − 7,8.10³ kg.m⁻³ ) (4/3) Π cm³ = −28358,1 kg.m⁻³ cm³
      • ρ_E a² = 1,03.10³ kg.m⁻³ × 8² cm² = 65920 kg.m⁻³ cm²
      • h = ( 148480 − 28358,1 ) kg.m⁻³ cm³ / ( 65920 kg.m⁻³ cm² )
      • les unités se simplifient comme le reste
      • h = 1,82 cm = 1,8 cm ( réponse c )

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