Chute dans un milieu visqueux

• Enoncé : On lâche une bille sans vitesse initiale dans un fluide visqueux
  • bille sphérique de rayon R
  • frottement opposé à la vitesse : F_f = − k v
  • masse volumique du fluide : ρ_F
• Equation de l'accélération : m a = P + P_A + F_f
  • projection sur un axe vertical orienté vers le bas : m a = m g − m_F g − k v
  • on met les fonctions inconnues v et dv/dt dans le membre de gauche : m dv/dt + k v = ( m − m_F ) g
  • avec : m_F = ρ_F V = ρ_F (4/3) π R³
• Résolution de l'équation sans second membre : m dv/dt + k v = 0
  • dv/dt + (k/m) v = 0
  • dv/dt + v / τ = 0   d'où : τ = m / k
  • Solution : v(t) = A e^{− t / τ}
• Résolution de l'équation avec second membre : m dv/dt + k v = ( m − m_F ) g
  • A la solution générale précédente, il faut ajouter une fonction constante v_L vérifiant l'équation
  • dv/dt = 0
  • v_L = ( m − m_F ) g / k
  • Solution : v(t) = A e^{− t / τ} + v_L
• Détermination de la constante A à partir de la condition initiale : v(0) = 0
  • v(0) = 0 = A e⁰ + v_L = A + v_L
  • A = − v_L
  • v(t) = v_L ( 1 − e^{− t / τ} )
• Propriétés de la courbe v(t) : point t = τ : v(τ) = v_L ( 1 − e⁻¹ )

  t	0	τ	2 τ	+∞
  v	0	0,63 vL	0,86 vL	vL

  
  La tangente à l'origine : v = ( v_L / τ ) t coupe l'asymptote (v = v_L) à l'abscisse t = τ

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