Equations différentielles d'ordre 1

• Résolution d'une équation linéaire d'ordre 1 : a y' + b y = 0   ( équation homogène = sans second membre )
  • Solution de la forme : y = A e^{λ x}
  • Dérivée : y' = A λ e^{λ x}     ( remarque : y' = λ y )
  • En reportant dans l'équation : a A λ e^{λ x} + b A e^{λ x} = 0
  • En simplifiant par A e^{λ x} : a λ + b = 0
  • λ = −b / a   (λ doit être négatif pour que y ne diverge pas pour x → +∞ )
  • Solution : y = A e^{(−b / a) x}
  • Si λ de e^{λ x} est positif : l'exponentielle diverge vers l'infini (Il y a une erreur en Physique)
  • La constante A est déterminée par la condition initiale y(x=0) = y₀
    y(0) = y₀ = A e^{(−b / a) 0} = A
    y(x) = y₀ e^{(−b / a) x}
• Résolution d'une équation linéaire d'ordre 1 avec second membre constant : a y' + b y = c
  • A la solution précédente de l'équation sans second membre,
    on ajoute une solution particulière : ici y = c / b avec y' = 0
  • La solution générale est : y = (c/b) + A e^{(−b / a) x}
  • Condition initiale y(x=0) = y₀
    • y₀ = (c/b) + A
    • y = (c/b) + ( y₀ − (c/b) ) e^{(−b / a) x}
  • points extrêmes x = 0 et x → +∞ :
    • y(0) = (c/b) + ( y₀ − (c/b) ) = y₀
    • y(+∞) = (c/b)     ( car e^{(−b / a) ∞} = 0   si (b/a) > 0 )
• Résolution d'une équation linéaire d'ordre 1 : a y' + b y = 0 ( méthode générale sans forme a priori de y )
  • a y' = −b y
  • y' / y = −b / a
  • en intégrant : ∫ (y' / y) dx = ∫ (−b / a) dx
  • ln( y ) = (−b / a) x + k
  • avec k = une constante d'intégration quelconque
  • en prenant l'exponentielle : e^{ln( y )} = e^{(−b / a) x + k}
  • y = e^{(−b / a) x + k} = e^{(−b / a) x} × e^k
  • y = K e^{(−b / a) x}
  • avec K = une constante d'intégration quelconque positive
  • Remarque : y' = K (−b / a) e^{(−b / a) x} = (−K b / a) e^{(−b / a) x}

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