mécanique exercice Poulie

• Enoncé : sans frottement, corde inextensible, gravitation g, inertie du fil et de la poulie négligée

  masse A : vecteurs ( x, y ) PA = ( 0, −mA g ) RA = ( −R sin(α), R cos(α) ) TA = ( T cos(α), T sin(α) ) γA = ( γ cos(α), γ sin(α) ) masse B : PB = ( 0, −mB g ) TB = ( 0, T ) γB = ( 0, −γ )

• inconnues : R, T, γ ( il faut 3 équations )
  • PFD(A) selon Ox : 0 − R sin(α) + T cos(α) = m_A γ cos(α)
  • PFD(A) selon Oy : −m_A g + R cos(α) + T sin(α) = m_A γ sin(α)
  • PFD(B) selon Oy : −m_B g + T = −m_B γ
• Mais il y a beaucoup plus simple :
  • Pour m_A, on peut utiliser le repère ( A, T_A, R_A )
  • on a alors :
    P_A = ( −m_A g sin(α), −m_A g cos(α) )
    R_A = ( 0, R )
    T_A = ( T , 0 )
    γ_A = ( γ, 0 )
  • Projection selon ( A, T_A ) : −m_A g sin(α) + 0 + T = m_A γ
  • Projection selon ( A, R_A ) : −m_A g cos(α) + R + 0 = 0   =>   R = m_A g cos(α)
• Il reste 2 équations pour 2 inconnues ( T et γ ) :

  −mA g sin(α)	+	T	=	mA γ		|| × mB
  −mB g	+	T	=	−mB γ		|| × mA
  −mA mB g ( sin(α) + 1 )	+	T ( mA + mB )	=	0

  => T = m_A m_B g ( sin(α) + 1 ) / ( m_A + m_B )
• en soustrayant la seconde équation de la première :
  −m_A g sin(α) + m_B g = ( m_A + m_B ) γ
  => γ = g ( m_B − m_A sin(α) ) / ( m_A + m_B )
• on reconnaît :
  • ( m_A + m_B ) : l'inertie de l'ensemble du système
  • ( m_B − m_A sin(α) ) : la masse pesante équivalente
• cas particuliers :
  • α = 0° ( plan horizontal ) : sin(α) = 0 d'où γ = g m_B / ( m_A + m_B )
  • α = 90° ( plan vertical ) : sin(α) = 1 d'où γ = g ( m_B − m_A ) / ( m_A + m_B )

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