Formules (A apprendre ou à savoir retrouver)

• Pour faire des sujets variés, les examinateurs prennent les formules de base dans tous les sens :
  exemple : v = d / t   =>   t = d / v   et   d = v t
  Il faut s'entraîner à faire de même.
• vitesses moyennes :
  • parcours : (d₁, t₁) puis (d₂, t₂) :
    • d = d₁ + d₂
    • t = t₁ + t₂
    • v_moy = d / t = ( d₁ + d₂ ) / ( t₁ + t₂ )
  • parcours : (t₁, v₁) puis (t₂, v₂) :
    • d = d₁ + d₂ = v₁ t₁ + v₂ t₂
    • t = t₁ + t₂
    • v_moy = d / t = ( v₁ t₁ + v₂ t₂ ) / ( t₁ + t₂ )
    • Moyenne arithmétique : v_moy ( t₁ + t₂ ) = v₁ t₁ + v₂ t₂
  • parcours : (d₁, v₁) puis (d₂, v₂) :
    • d = d₁ + d₂
    • t = t₁ + t₂ = d₁ / v₁ + d₂ / v₂
    • v_moy = d / t = ( d₁ + d₂ ) / ( d₁ / v₁ + d₂ / v₂ )
    • Moyenne harmonique : ( d₁ + d₂ ) / v_moy = d₁ / v₁ + d₂ / v₂
• mécanique : axe Oz vertical vers le haut E_p = m g z
  • E_m = (1/2) m v₀² + m g z₀ = (1/2) m v² + m g z   =>   2 g ( z − z₀ ) = v₀² − v² = ( v₀ + v ) ( v₀ − v )
• chute libre : x(t) = (1/2) g t² + v₀ t + x₀ ( axe Ox vertical orienté vers le bas : g > 0 )
  • v(t) = g t + v₀
  • Cas sans vitesse initiale : v₀ = 0 et x₀ = 0   =>   x(t) = (1/2) g t²
    • t(x) = √ 2 x / g
    • v(x) = √ 2 g x
• chute libre à 2 dimensions, Oy vers le haut : vitesse initiale ( v₀ cos(α), v₀ sin(α) )
  • x(t) = v₀ cos(α) t + x₀
  • v_y(t) = − g t + v₀ sin(α)
  • y(t) = − (1/2) g t² + v₀ sin(α) t + y₀
  • Trajectoire : élimination de t(x) = ( x − x₀ ) / ( v₀ cos(α) )
  • y(x) = − g ( x − x₀ )² / ( 2 v₀² cos(α)² ) + ( x − x₀ ) tan(α) + y₀
  • sommet : v_y = 0   =>   t = v₀ sin(α) / g
• Poussée d'Archimède : P_A = ρ_F V g   ( dirigée vers le haut )
  • volume d'une sphère : V = (4/3) π R³
  • surface d'une sphère : S = dV/dR = 4 π R²
• Chute dans un milieu visqueux sans vitesse initiale : m a = m g − k v
  • dv/dt + (k/m) v = dv/dt + v / τ = g
  • solution constante pour t=∞ : dv/dt = 0 et v_max = m g / k
  • τ = m/k
  • v(t) = v_max ( 1 − e^{−t / τ} )
• mécanique : F = − G m₀ m / r² cas de l'orbite circulaire
  • E_pot = − G m₀ m / r
  • ( F = m a ) : G m₀ m / r² = m v² / r
  • v² = G m₀ / r
  • E_cin = (1/2) m v² = (1/2) G m₀ m / r = − (1/2) E_pot
  • r v² = G m₀
  • Révolution : v T = 2 π r   =>   v = 2 π r / T
    • r = G m₀ T² / (4 π² r²)
    • r³ / T² = G m₀ / (4 π²) = constante   (Loi de Képler)
• électricité :
  • résistance : u = r i   =>   r = u / i   et   i = u / r
  • puissance(R) : P_R = u i = r i² = u² / r     Si i est constant : W_R = r i² Δt
  • capacité : u = q / C   =>   q = C u   et   C = q / u
  • énergie(C) : W_C = (1/2) q² / C = (1/2) q u = (1/2) C u²
  • inductance : u = L di/dt
  • énergie(L) : W_L = (1/2) L i²
• électricité : Circuit R L C : E = L di/dt + R i + q / C = L d²q/dt² + R dq/dt + q / C
  • Circuit R C, charge : E = R i + q / C = R dq/dt + q / C
    • dq/dt + q / (R C) = dq/dt + q / τ = E/R
    • solution constante pour la charge (t=∞) : dq/dt = 0 : q = C E
    • solution générale : avec τ = R C
      • charge : q(t) = C E ( 1 − e^{− t / τ} )
      • décharge : q(t) = q₀ e^{− t / τ} = C E e^{− t / τ}
      • On obtient i(t) par : i(t) = dq/dt = (±E / R) e^{− t / τ}
  • Circuit R L : E = L di/dt + R i
    • di/dt + (R/L) i = di/dt + i / τ = E/L
    • solution constante (t=∞) : di/dt = 0   =>   i_max = E / R
    • solution générale : τ = L/R
      • charge : i(t) = (E/R) ( 1 − e^{− t / τ} )
  • Circuit L C : 0 = L di/dt + q / C = L d²q/dt² + q / C
    • d²q/dt² + q / (LC) = d²q/dt² + ω² q = 0
    • solution générale : avec ω² = 1 / (L C)
      • ω = 1 / √ L C = 2 π / T
      • T = 2 π √ L C
      • q(t) = q(0) cos( ω t )
      • i(t) = dq/dt = − ω q(0) sin( ω t )
• optique : 1/a' − 1/a = 1/f '
  • Vergence : V = 1 / f '
  • a' = a f ' / ( a + f ' )
  • f ' = a a' / ( a − a' )
  • a = a' f ' / ( f ' − a' )
  • grandissement : γ = a' / a = f ' / ( a + f ' )
  • n = c₀ / c ≥ 1
  • n₁ sin(i₁) = n₂ sin(i₂)
• Ondes lumineuses :
  • signal périodique : f(t,x) = f(t−x/c, 0 )
  • signal sinusoïdal : f(t,x) = cos( ω (t−x/c) ) = cos( 2 π/T (t−x/c) ) = cos( 2 π (t/T − x/λ) )
  • λ = c T   ;   f = 1 / T   ;   ω = 2 π f = 2 π / T
  • Diffusion par une fente : demi-angle = λ / largeur(fente)
  • Domaine visible (λ) : UV ... [ violet 380 nm ... rouge 780 nm ] ... IR
• Monde quantique : E = h f = h c / λ
  • F_e = K q₁ q₂ / r² = m a = m v² / r   =>   r v² = K q₁ q₂ / m
  • E_p = K q₁ q₂ / r
  • E_m = (1/2) m v² + K q₁ q₂ / r
  • e = 1,6 10⁻¹⁹ C
• Radioactivité : N(t) = N(0) 2^{− t / t_1/2} = N(0) e^{− λ t} = N(0) e^{− ln(2) t / t_1/2}
  • λ = ln(2) / t_1/2
  • conversion des jours en secondes : 1 j = 24 h = 24 × 3600 s = 86400 s
  • Soit p = nombre de périodes : N(p t_1/2) = N(0) 2^{− p} = N(0) / 2^p
  • N = ( m / M ) × N_A     avec N_A = 6,02 10²³
  • Activité : A(t) = − dN/dt = λ N(t)
  • E = m c²
• Mécanique : pendule (sans vitesse initiale)
  • m a_T = m R d²α/dt² = − m g sin(α)
  • m a_N = m v² / R = N − m g cos(α)
  • E_m = (1/2) m v² + m g R ( 1 − cos(α) ) = (1/2) m v₀² + m g R ( 1 − cos(α₀) )
  • v₀ = 0   =>   v² = 2 g R ( cos(α) − cos(α₀) )
  • N = m v² / R + m g cos(α) = m g ( 3 cos(α) − 2 cos(α₀) )
• Mécanique : ressort : m a = − k x
  • d²x/dt² + (k/m) x = d²x/dt² + ω² x = 0
  • ω = √ k / m = 2 π / T
  • x(t) = x_max cos( ω t + φ )
  • E_m = (1/2) m v² + (1/2) k x² = (1/2) m v₀² + (1/2) k x₀²

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