Gravité Terre et Lune opposées

• Enoncé classique : On recherche le point où la Gravité de la Terre annule celle de la Lune.
  • x = distance de la Terre au point M de masse (m)
  • D = distance de la Terre à la Lune (environ 380 000 km)
• Equation vectorielle : F_T→m + F_L→m = 0
  • D'où : F_T→m = F_L→m
  • G M_T m / x² = G M_L m / (D − x)²
  • (D − x)² = (M_L / M_T) x²
  • En prenant la racine carrée de l'équation :
    D − x = ± √M(L) / M(T) x
    D = ( 1 ± √M(L) / M(T) ) x
  • Solution 1 : x = D / ( 1 − √M(L) / M(T) ) > D (Les 2 forces d'attraction sont dans le même sens)
  • Solution 2 : x = D / ( 1 + √M(L) / M(T) ) < D (Les 2 forces d'attraction sont de sens contraires)
• Si l'on développe malgré tout : (D − x)² = (M_L / M_T) x²
  • D² − 2 D x + x² = (M_L / M_T) x²
  • on met l'équation sous la forme : a x² + b x + c = 0 que l'on sait résoudre
  • [ 1 − (M_L / M_T) ] x² − 2 D x + D² = 0
  • Δ = b² − 4 a c = 4 D ² − 4 ( 1 − (M_L / M_T) D² = 4 (M_L / M_T) D²
  • x = ( − b ± √Δ ) / ( 2 a ) = ( 2 D ± 2 √M(L) / M(T) D ) / [ 2 [ 1 − (M_L / M_T) ] ]
  • x = D ( 1 ± √M(L) / M(T) ) / [ 1 − (M_L / M_T) ]
  • Or : 1 − (M_L / M_T) = ( 1 − √M(L) / M(T) ) ( 1 + √M(L) / M(T) )
  • D'où : x = D / [ 1 ± √M(L) / M(T) ]

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