Montage mécanique oscillant (m, k)

• Enoncé : Montage mécanique oscillant ( masse + ressort )
  • à l'équilibre : G(m) est en x = 0
  • on écarte m de sa position d'équilibre de 5 cm et on le lâche sans vitesse initiale
  • L'origine des temps sera prise au premier passage de m par sa position d'équilibre
  • L'énergie mécanique du système est constante et = 20 mJ
  • à t = 50 ms, l'énergie potentielle élastique = 4,9 mJ
  • Calculer la masse (en g) du solide ? (dans l'intervalle [50..300])
• Compréhension du problème :
  C'est problème périodique : il suffit d'étudier une oscillation complète
  • 0) la masse part de x = +x_max à v = 0     E_élastique = (1/2) k x_max² et E_cinétique = 0
  • 1) x décroît jusqu'à x = 0 avec v = −v_max ( < 0 )     E_élastique = 0 et E_cinétique = (1/2) m v_max²
  • 2) x continue de décroître jusqu'à −x_max et v = 0
  • 3) x croît jusqu'à x = 0 avec v = +v_max ( > 0 )
  • 4) x continue jusqu'à x = +x_max et v = 0 (son point de départ)
  La fin de la phase 1) est prise comme origine des temps : E_élastique = 0
  pendant la phase 2), l'énergie élastique E_élastique remonte de 0 à (1/2) k x_max² = 20 mJ
  à un temps intermédiaire (t = 50 ms), elle vaut 4,9 mJ
• Analyse du problème :
  • L'équation du mouvement est : m a = −k x     complètement déterminé par ( m, k ) qui définit le paramètre ω
    • d²x/dt² + (k/m) x = 0
    • d²x/dt² + ω² x = 0
    • => ω² = k / m
    • T = 2 π / ω
  • La solution générale de cette équation du deuxième ordre est : x = x_max cos( ω t + φ )
    v = − ω x_max sin( ω t + φ )
  • Les 2 constantes x_max et φ sont déterminées par les 2 conditions initiales de position et de vitesse.
  • Inconnues du problème : m, k, x_max et φ
  • Données du problème : x_initial = 5 cm ; v_initial = 0 ; E_mécanique = 20 mJ ; E_élastique(50 ms) = 4,9 mJ
• initialement : t₀ inconnu :
  • information toujours valable : Emeca = 20 mJ
  • x = x_max cos( ω t₀ + φ ) = x_max
  • cos( ω t₀ + φ ) = 1
  • ω t₀ + φ = 0
  • t₀ = − φ / ω
  • E_mécanique = 1/2 m v² + 1/2 k x² = 1/2 k x_max² = 20 mJ
  • k = 2 . 20.10⁻³ / 25.10⁻⁴ = 400 / 25 = 16
• t = 0 : pas d'information (permet de trouver l'origine des temps pour que 50 ms ait un sens)
  • x = 0 et le solide a la vitesse maximum : − ω x_max
  • donc sin( φ ) = +1   Soit : φ = + π / 2
  • Equation du mouvement : x(t) = x_max cos( ω t + π / 2 )
• t = 50 ms : E_élastique = 4,9 mJ
  • Dans l'intervalle de temps [ 0. ; T/4 ] Soit : [ 0. ; π/(2 ω) ], E_élastique va prendre une fois la valeur 4,9 mJ
  • Equation du mouvement : x(t) = x_max cos( ω t + π / 2 )
  • E_élastique(t=5.10⁻²) = (1/2) k x²(t) = (1/2) 16 . 25.10⁻⁴ cos²( ω 5.10⁻² + π / 2 ) = 4,9.10⁻³ J
  • cos²( ω 5.10⁻² + π / 2 ) = 2 . 4,9.10⁻³ / ( 16 . 25.10⁻⁴ ) = 2 . 49 / ( 16 . 25 )
  • cos( ω 5.10⁻² + π / 2 ) = ± √2 . 7 / ( 4 . 5 ) = ± 1,4 . 7 / 20 = ± 9,8 / 20 ≈ ± 0,5
  • Le premier angle de cosinus ± 1/2 qui suit π/2 est 2π/3 ( cos(2π/3) = − 0,5 )
    • Donc : ω 5.10⁻² + π / 2 = 2 π / 3
    • ω 5.10⁻² = π / 6
    • ω = 314 / 30 = 10,5
• Connaissant ω, on en déduit m par le relation : ω² = k / m
  • Soit m = k / ω² = 16 / 10,5²
  • 10,5² = (10 + 0,5)² = 100 + 10 + 0,25 = 110
  • m = 16 / 110 kg = 16000 / 110 g = 160 / 1,1 = 145 g
• Remarque 1 : Le fait de prendre l'origine au passage à x = 0 n'apporte rien :
  • En prenant t = 0 pour x = x_max, on aurait eu l'équation : x(t) = x_max cos( ω t )
  • Le passage en x = 0 aurait eu lieu pour x(t₀) = 0 pour la première fois : ω t₀ = π/2
  • E_élastique = 4,9 mJ aurait ensuite été atteint pour t = t₀ + 50 ms
    Soit x(t) = x_max cos( ω ( t₀ + 5.10⁻² ) )
    Comme : ω t₀ = π/2
    Soit x(t) = x_max cos( π/2 + ω 5.10⁻² )
• Remarque 2 : Si t = 50 ms correspond au 2^ème passage par E_élastique = 4,9 mJ
  • On aurait toujours eu : cos( ω 5.10⁻² + π / 2 ) = ±0,5
  • Mais le 2^ème passage correspond à l'angle 4π/3
  • Donc : ω 5.10⁻² + π / 2 = 4 π / 3
  • ω 5.10⁻² = 5 π / 6   ( 5 fois plus )
  • ω = 52,5
  • m = k / ω² : 25 fois moins : m = 6,8 g

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