Rayane, exercices de physique   [répertoire]

• Objet de masse m en chute libre : problème 1D
  • axe Oz dirigé vers le haut.
    2 Forces : poids (−mg) ; résistance de l'air (−kv) toujours opposée la vitesse
    unité de k : kg.s⁻¹
  • 2 Conditions Initiales : lâcher à une hauteur h sans vitesse initiale.
  • résoudre l'équation de la vitesse v(t)=dz/dt
    vérifier que la solution vérifie v(0) = 0
    indice 1   indice 2   indice 3   indice 4   indice 5
  • Quelle est l'évolution de la vitesse quand t → ∞
    indice 1
  • calculer z(t)
    vérifier que la solution vérifie z(0) = h
    indice 1   indice 2   indice 3
• énoncé : Circuit LC série
  • équation différentielle : L q'' + 1/C q = 0
    q'' + 1/(LC) q = 0
  • de la forme q'' + ω² q = 0   avec ω² = 1/(LC)   soit ω = 1/√LC
    ω = 1/√LC = ω = 1/√0.2*1.e-12 = 2.2e6 s⁻¹
    On connaît les solutions : elles sont de la forme : q(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) = k cos(ωt − φ) = k sin(ωt − φ)
    car cos(ωt − φ) = cos(ωt) cos(φ) + sin(ωt) sin(φ)
    car sin(ωt − φ) = sin(ωt) cos(φ) − cos(ωt) sin(φ)
    avec 2 constantes (A,B) ou (A,φ) à déterminer par les C.I. (Conditions Initiales)
  • q(0) = 1e-11 C et q'(0) = 0 C.s⁻¹
    q(0) = A cos(0) + B sin(0) = A = 1e-11
    q'(0) = − A ω sin(0) + B ω cos(0) = B ω = 0   ⇒   B = 0
  • Solution : q(t) = 1e-11 cos(ωt) C = 1e-11 cos(2.2e6 t) C
  • i(t) = dq/dt = − 1e-11 ω sin(ωt) C.s⁻¹ = − 1e-11 * 2.2e6 sin(2.2e6t) C.s⁻¹ = − 2.2e-5 sin(2.2e6 t) A
  • à savoir :
    q'' + ω² q = 0 a pour solution générale : q(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) avec 2 constantes (dérivée seconde)
    les constantes sont déterminées par les conditions initiales : 2 équations pour 2 constantes
    régime transitoire : i = dq/dt ; q = C u ; u = L di/dt
    Attention aux signes dans un circuit : choix du courant i arbitraire (résultat positif ou négatif)
    on raisonne comme si i était positif :
    on prend u dans le sens opposé au courant i : u = L di/dt   (u(t) s'oppose à la variation de i(t))
    on prend q sur la borne d'arrivée du courant i : q = ∫ i dt   (u(t) = q(t)/C s'oppose l'augmentation de i(t))
  • voir Circuit RLC de Wikipedia
• énoncé : Aiguille dans un champ magnétique B
  • J θ'' + M B θ = 0
    C.I. : angle(aiguille, B) = θ₀   ;   on lâche l'aiguille à l'arrêt : dθ/dt = 0
  • équation du type : θ'' + ω² θ = 0
    . . .
• Cas général : a d²y/dx² + b dy/dx + c y = 0
  • solutions de la forme y = e^{r x}   où r est solution de a r² + b r + c = 0
    en effet : dy/dx = r e^{r x} = r y
    d²y/dx² = r² e^{r x} = r² y
    quand on remet dans l'équation : a r² y + b r y + c y = 0 = y (a r² + b r + c)
  • si les racines r₁ et r₂ sont réelles : régime exponentiel
    y = A e^{r₁ x} + B e^{r₂ x}
  • si les racines r₁ et r₂ sont complexes : la partie imaginaire produit des sinus (ou cosinus) régime oscillant
    r₁ = α + i β ; r₂ = α − i β
    solution : e^{(α + i β) x} = e^{α x} (cos(βx) + i sin(βx))
    y = A e^{α x} (cos(βx) + i sin(βx)) + B e^{α x} (cos(βx) − i sin(βx))
    y = e^{α x} [ (A+B) cos(βx) + i (A−B) sin(βx) ]
    solutions réelles : A+B réel et A−B = imaginaire pur
    y = e^{α x} [ A cos(βx) + B sin(βx) ]
  • cas particulier d'une racine double : y = (A x + B) e^{r x}
    avec Δ = b² − 4 a c = 0 : r = −b/(2a)
    équation : a (r + b/(2a))² = 0
    dy/dx = (A + (A x + B) r ) e^{r x} = (A + B r + A r x) e^{r x}
    d²y/dx² = (A r + (A + B r + A r x) r) e^{r x} = (2 A r + B r² + A r²x) e^{r x}
    quand on remet dans l'équation :
    a (2 A r + B r² + A r²x) e^{r x} + b (A + B r + A r x) e^{r x} + c (A x + B) e^{r x} = 0
    a (2 A r + B r² + A r²x) + b (A + B r + A r x) + c (A x + B) = 0
    (a 2 A r + a B r² + a A r²x) + (b A + b B r + b A r x) + (c A x + c B) = 0
    terme constant : a 2 A r + a B r² + b A + b B r + c B
    . . . = B (a B r² + b r + c) + A (a 2 r + b) = B (0) + A (0)
    terme en x : a A r² + b A r + c A = A (a r² + b r + c) = A * 0

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