ESIEE TD4_5 [répertoire]

• exercice 1 : automobile problème 1D :
  • bilan des forces : seule force active : F = m a < 0 (freinage opposé à la vitesse)
    car le poids est compensé intégralement par la réaction de la route.
  • mouvement : a = dv/dt = F/m ; soit dv = (F/m) dt
    C.I. : x₀ = 0 ; v₀ = 60 km.h⁻¹ = 60*1000/3600 ; (axe Ox orienté vers la droite)
  • première intégration : v(t) − v₀ = (F/m) (t − 0) ; soit dx = v₀ dt + (F/m) t dt
  • seconde intégration : x(t) = v₀ t + (F/m) t²/2 (inutile pour répondre à la question)
  • état final : t_f = 45 s et v(45) = 0
    la formule : v(t_f) = v₀ + (F/m) t_f devient : 0 = v₀ + (F/m) t_f
    d'où : F = − v₀ m/t_f = − (60*1000/3600) * 1500 / 45 ≈ −556 N
• exercice 2 :
  • On va résoudre le problème dans le référentiel d'origine O lié à la Terre.
    on considère que ce référentiel est Galiléen pour ce problème : effet de la rotation de la Terre négligeable.
  • Bilan des forces : poids P = m g, réaction du support = N (normale car sans frottement)
  • équation vectorielle : P + N = m a = m dv/dt   (éq.1)   (ne dépend pas du repère)
    N est déterminé par la condition : l'objet ne traverse pas le sol : v_{⊥ pente} ≥ 0
  • premier essai : repère choisi : Ox = horizontale ; Oy ⊥ à Ox, dirigé vers le haut.
    projection sur Ox : 0 − N sin(θ) = m dv_x/dt   (éq.2)
    projection sur Oy : −m g + N cos(θ) = m dv_y/dt   (éq.3)
    intégration de l'éq. 2 : C.I. : vecteur v₀ = (v₀ cos(θ) ; v₀ sin(θ))
    Il faut appliquer la condition : v_{⊥ pente} = 0 ; (v_x ; v_y) . (cos(θ) ; sin(θ)) = 0 :
    v_x cos(θ) + v_y sin(θ) = 0 trop compliqué
  • second essai : comme le suggère la figure : Ox est l'axe incliné d'angle θ et Oy est ⊥ à Ox, dirigé vers le haut-gauche.
    projection sur Ox : N étant ⊥ à Ox disparaît (élimination naturelle) : −P sin(θ) + 0 = m a_x   (éq.4)
    a_x = −P sin(θ) / m = −g sin(θ)
    projection sur Oy : −P cos(θ) + N = m a_y   (éq.5) Mais v_{⊥ pente} = v_y = 0 ⇒ a_y = 0
    l'accélération est : g sin(θ) orientée parallèlement à la pente et dirigée vers O.

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