cours du 03 janvier 2019 [répertoire]

• FAIRE UN SCHEMA : Chaque notion de math doit avoir une signification : comme une table, une girafe, . . .
  • Chaque notion de math doit avoir une signification : comme une table, une girafe, . . .
    que signifie une relation d'ordre ? d'équivalence ? . . .
    de même que table, girafe peuvent être traduites par un dessin,
    il faut traduire toutes ces notions mathématiques, physiques par des schémas.
      souvent inspirés des exercices.
    même si l'on n'a pas vu de girafe depuis des années, on s'en souvient.
  • relation d'ordre : un graphe orienté, sans boucle : faire un schéma
  • relation d'équivalence : comme dans l'exercice :
    des classes d'équivalence contenant des points tous reliés entre eux par des doubles flèches :
    S'il y a n éléments dans la classe d'équivalence, il faut n(n−1) flèches simples + n flèches de chaque élément vers lui-même
  • ensembles :
    A ∩ B ; A ∪ B ; A^c
    A \ B = A ∩ B^c :
• (P ⇒ Q) ≡ ((non P) ∨ Q)
  (P ⇒ Q) est vraie dès que P est fausse ou Q est vraie
  (P ⇒ Q) est fausse uniquement pour : P vraie et Q fausse
  On ne fait pas de démonstration logique avec "⇒" : on le remplace par ("non", "∨"="ou")
• négation d'une proposition : ∀ → ∃ ; ∧ → ∨ ; P → non P
• Essayer de comprendre ce que signifie la proposition à démontrer
  ne pas se lancer tout de suite dans les manipulations d'opérateurs logiques.
  Sinon, on risque de démontrer n'importe quoi.
  La logique est une garantie : un peu comme la calculatrice permet de vérifier le résultat d'une opération.
  La logique pure est valable uniquement pour les mathématiciens professionnels.
• (P ⇒ Q) ≡ ((non Q) ⇒ (non P))
  • (P ⇒ Q) :
    Condition suffisante pour Q : Q vraie si P vraie
    on peut avoir Q vraie avec P fausse : P n'est pas nécessaire
    une condition moins forte que P implique déjà Q
    Mnémonique : (P − P') ⇔ Q
  • (Q ⇒ P) :
    Condition nécessaire pour Q : Q fausse si P fausse
    Q ne peut pas être vraie si P fausse (raisonnement par l'absurde)
    on doit avoir P vraie + une autre condition pour que Q soit vraie
    Mnémonique : (P + P'') ⇔ Q
  • si (P ⇒ Q) et (Q ⇒ P) : P ⇔ Q
    Car P' = P'' = ∅
• Ensembles :
  • (a ∈ E) ⇔ singleton {a} ⊆ E ⇔ {a} ∈ Parties(E)
    ∀ E : ∅ ⊆ E
  • A Δ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
  • Parties( {A} ) = { ∅, {A} }   (2 éléments)
    Parties( {A, B} ) = { ∅, {A} , {B} , {A, B} }   (4 éléments)
    Parties(E)   (2^|E| éléments)
  • |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
    avec |A| + |B|, les éléments de A ∩ B ont été comptés 2 fois : il faut les retirer 1 fois.
  • |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |C ∩ A| + |A ∩ B ∩ C|
    les éléments de A ∩ B ∩ C ont été comptés 3 fois dans |A| + |B| + |C|
    et retirés 3 fois dans − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |C ∩ A|
    Il faut les ajouter encore 1 fois
  • 1 ensemble A de E : définit 2 sous-ensembles élémentaires : A et A^c
    2 ensembles A, B de E : définissent 4 sous-ensembles élémentaires : A∩B, A^c∩B, A∩B^c, A^c∩B^c
    que je note "11", "01", "10", "00"
    3 ensembles A, B, C de E : définissent 8 sous-ensembles élémentaires : A∩B∩C, A∩B^c∩C, . . .
    que je note "111", "101", "110", "100", "011", "001", "010", "000"
• produit cartésien : (x,y) ligne en premier, colonne en deuxième
  • {0,1} ⊗ {0,1,2} = { (0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2) }

    x\y	0	1	2
    0	(0,0)	(0,1)	(0,2)
    1	(1,0)	(1,1)	(1,2)

  • Exercice :

    x\y	0	1	2	3	4	5
    0	A1				A3
    1
    2
    3
    4	A4				A2
    5

    En changeant l'ordre des nombres :

    x\y	4	5	0	1	2	3
    4	A2		A4
    5
    0	A3		A1
    1
    2
    3

• relation d'équivalence "=" : R (a=a) ; S (a=b ⇒ b=a) ; T (a=b et b=c ⇒ a=c)
  • relation d'équivalence "=" : R (a=a) ; S (a=b ⇒ b=a) ; T (a=b et b=c ⇒ a=c)
    classes d'équivalence à l'intérieur desquelles tous les éléments sont reliés 2 à 2 par 2 flèches
    classe d'équivalence = { x, y : (x,y) and (y,x) and (x,x) and (y,y) }
  • relation d'ordre strict ">" : T (a>b et b>c ⇒ a>c)
    s'il y a une boucle dans le graphe, la relation ne peut pas être Transitive (Pierre > Ciseaux, > Feuille > Pierre)
  • relation d'ordre "≤" : R (a≤a) ; A (a≤b and b≤a ⇒ a=b) ; T (a≤b and b≤c ⇒ a≤c) ; total si ∀ (a,b) a≤b or b≤a
    Δ_E = { (x,x) ∀ x ∈ E }   (pour satisfaire la Rélexivité)
  • Antisymétrie : s'il n'y a aucune boucle de longueur 2 : A → B → A ou (A,B) and (B,A) avec A ≠ B
    s'il y a une boucle de longueur 2 : { (A,B), (B,A) } la relation n'est pas antisymétrique
• liens :
  video-maths (trop simple)
  cours MPSI (théorique : pas d'exemples)
  bibmath.net logique
  exo7 livre-analyse-1
  exo7

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