cours du 14 février 2019 Thermo [répertoire]

• différence entre continuité et dérivabilité :
  • graphiquement : continuité = pas de saut, points anguleux autorisés (sauts dans la dérivée)
    continuité en a : x → a ⇒ f(x) → f(a)
    la limite de f(x) en x=a est f(a)
    Soit : ∀ ε > 0, ∃ η > 0 tel que |x−a| < η ⇒ |f(x)−f(a)| < ε
    ou encore : ∀ voisinage de f(a), ∃ voisinage de a tel que x ∈ Vois(a) ⇒ f(x) ∈ Vois(f(a))
    les points anguleux sont autorisés : sauts dans la dérivée
  • dérivabilité = ∃ tangente, nécessité de la continuité de la fonction
    dérivabilité de f au point a :
    f '(a) = limite quand h → 0 de (f(a+h) − f(a)) / h   existe
    Soit : ∃ L(f,a), ∀ ε > 0, ∃ μ(ε) > 0, tel que h < μ ⇒ |(f(a+h)−f(a))/h − L| < ε, alors f '(a) = L
    ou encore : ∃ L(f,a), ∀ voisinage de L, ∃ voisinage de a tel que x ∈ Vois(a) ⇒ (f(x)−f(a))/(x−a) ∈ Vois(L)
• continuité au raccordement de 2 fonctions dérivables :
  h(x) = f(x) pour x ≤ a
  h(x) = g(x) pour x ≥ a
  calculer les tangentes des 2 côtés : f '(a), g'(a)
    interprétation graphique : faire un dessin
  on peut approximer h(x) = h(a) + (x−a) h'(a) + O((x−a)²)
  soit |h(x) − h(a)| ≤ |x−a| max(|f '(a)|, |g'(a)|) + O((x−a)²) < η max(|f '(a)|, |g'(a)|) + O(η²) < ε
  ∀ ε > 0, ∃ η = ε / [ 2 max(|f '(a)|, |g'(a)|) ] tel que |x−a| < η ⇒ |f(x)−f(a)| < ε
  exercice 1 : x ≤ −1 : f '(x) = 2 x ; |f '(−1)| = 2
  x ≥ −1 : f '(x) = −2 x ; |f '(−1)| = 2
  il faut prendre η < ε/2 (par exemple ε/3) et suffisamment petit pour être ≫ O(η²)
  soit |h(x) − h(a)| < η max(|f '(a)|, |g'(a)|) + O(η²) = η [ max(|f '(a)|, |g'(a)|) + O(η) ] < ε
  ou η < ε / (max(|h'(a)|) + O(η))
  au minimum : limiter η à 1 pour avoir : η < 1 donc η² < 1 . . . donc ηⁿ < 1
  mieux : limiter η à q < 1 pour avoir : η < q donc η² < q² . . . donc ηⁿ < qⁿ
    afin que le développement soit majorable par une suite géométrique
• remarque : la fonction abs(f(x)) a pour dérivées ± f '(x) donc majorée par |f '(x)|
• exercice 1 : continuité de f(x) :
  ∀ ε, il suffit de trouver une fonction η(ε) , même très inférieure à l'optimum.
  pour cela, la figure peut nous aider :
  penser au cas où ε est très grand pour avoir une formule générale

  x	−∞		−1		1		∞
  x−1	−		−	−	0	+
  x+1	−		0	+	+	+
  x2−1	+		0	−	0	+
  |x2−1|	x2−1		0	1 − x2	0	x2−1
  f(x)	x2		1	2 − x2	1	x2
  f(x) − f(−1)	x2−1		0	1 − x2	0	x2−1

  |x − (−1)| < η   soit : |x + 1| < η ⇒ |f(x) − f(−1)| < ε ?
  • |x + 1| < η   ⇔   −1 − η < x < −1 + η
  • On va limiter η à 1 : η < 1 pour ne pas avoir trop de cas à traiter
    donc η² < η
  • cas x ≤ −1 : −1 − η < x < −1
    comme Δf(x) = |f(x) − f(−1)| est décroissante : à la borne inf x = −1 − η on a max(Δf)
    max(Δf) = f(x) − f(−1) = x²−1 = 1 + 2η + η² − 1 = η (2 + η) doit être ≤ ε
    η côté (x < −1) doit vérifier η (2 + η) < η (2 + 1) = 3 η < ε
    Soit : η < ε/3 vérifie la condition de continuité
  • cas x ≥ −1 : −1 < x < −1 + η
    2 formes de la fonction f(x) : x = −1 + η
    • −1 ≤ x ≤ 1 : max(Δf) = 1 − x² = 1 − (−1 + η)² ≤ ε
      1 − (1 − 2 η + η²) = 2 η − η² ≤ ε
      |η (2 − η)| ≤ 2 η < ε
      η < ε/2 vérifie la condition de continuité
    • 1 ≤ x : pour simplifier, on va limiter η à 1 (ou moins si l'on veut) comme cela, ce cas n'est pas à traiter
  • Bilan : η = min(1, ε/3) vérifie la condition de continuité des 2 côtés.
• exercice 2.1)
  • f continue sur [a;b] : ∀ x₀ ∈ ]a;b[
    ∀ ε > 0, ∃ α₁ > 0 tel que |x−x₀| < α₁ ⇒ |f(x) → f(x₀)| < ε
  • f continue sur [b;c] : ∀ x₀ ∈ ]b;c[
    ∀ ε > 0, ∃ α₂ > 0 tel que |x−x₀| < α₂ ⇒ |f(x) → f(x₀)| < ε
    au voisinage de b : x₀ = b
    ∀ ε > 0, ∃ α = min(α₁, α₂) > 0 tel que |x−b| < α ⇒ |f(x) → f(b)| < ε
• exercice 2.2)
  • f(x) = 0 sur [a;b] et f(x) = 1 sur ]b;c]
    pour |f(x+0)−f(b)| = 1
• exercice 3.1) f(x) = |4x+|x³|| / |8x−|x³||
  • les fonctions x, x³ et || sont définies sur ℝ
    seules valeurs interdites : celles qui annulent le dénominateur
  • cas x < 0 : 8x−|x³| = 8x + x³ = x (8 + x²)
    |8x−|x³|| = |x (8 + x²)| = −x (8 + x²)
    une seule racine : x=0
  • cas x > 0 : 8x−|x³| = 8x − x³ = x (8 − x²)
    • cas (8 − x²) > 0 ⇔ x² < 8 ⇔ x < 2 √2
      |8x−x³| = x (8 − x²) = 0 pour x = 2 √2
    • cas (8 − x²) < 0 ⇔ x² > 8 ⇔ x > 2 √2
      |8x−x³| = x (x² − 8) = 0 pour x = 2 √2
  • Conclusion : D_f = ℝ \ {0 ; 2 √2}
• exercice 3.2) Continuité :
  • les fonctions x, x³ et || sont continues sur ℝ
  • f(x) est continue sur son domaine de définition
• exercice 3.3) Prolongement par continuité :
  • limite f(x) quand x → 0 :
    • x < 0 : f(x) = |4x−x³|| / |8x+x³|
      f(x) = |x| |4−x²|| / (|x| |8+x²|) = |4−x²| / (8+x²) → 4/8 = 1/2
    • x > 0 : f(x) = |4x+x³|| / |8x−x³|
      f(x) = |x| |4+x²|| / (|x| |8−x²|) = |4+x²| / (8−x²) → 4/8 = 1/2
    • les limites à gauche et à droites sont égales : on prend cette valeur comme définition de f en 0 : f(0) = 1/2
  • limite f(x) quand x → 2 √2 :
    seul le dénominateur tend vers 0 : le numérateur tend vers : 8 √2 + 16 √2 = 24 √2
    f(2 √2) → ∞
    impossible de lui donner une valeur finie par continuité
• définition de E(x) : pour n ≤ x < n+1 : E(x) = n
  autant d'intervalles à étudier.

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