cours du 28 mars 2019 Entropie [répertoire]

• entropie entre un état (1) et un état (2) : S₂ − S₁ = ∫_rév δQ / T pour un chemin réversible qui va de (1) à (2)
• Gaz Parfait : P V = n R T ; U = n C_V T ; adiabatique réversible : P V^γ = constante
  C_P − C_V = R ; γ = C_P / C_V = R / C_V + 1
• l'entropie S et l'énergie interne U sont des fonctions d'état :
  ΔS et ΔU entre 2 états d'un système ne dépendent pas du chemin suivi pour aller de l'état A à l'état B.
    elles ne dépendent que des états A et B
• système isolé : ensemble des systèmes en interaction
  Pour une transformation réversible (quasi-équilibre), Δ(entropie totale) = 0
  Pour une transformation irréversible, Δ(entropie totale) > 0
  source chaude, source froide qui échangent de la chaleur :
  ΔS(chaude) < 0 ΔS(froide) > 0   mais : |ΔS(chaude)| > |ΔS(froide)|
  Ainsi : ΔS(Univers) = ΔS(chaude) + ΔS(froide) > 0
• En thermo. les fonctions dépendent de 2 variables par exemple (V,T) ou (P,V) . . . d'où les diagrammes 2D
  On peut donc calculer des dérivées de U et S : comme ∂U/∂T ou ∂U/∂V en maintenant l'autre variable fixe.
  On peut aussi les différentier : dU = (∂U/∂V)_T dV + (∂U/∂T)_V dT   ici en représentation (V,T)
  ATTENTION : (∂U/∂V)_T, (∂U/∂T)_V et (∂U/∂P)_T ne sont pas indépendants
• TD3 exercice 1
  problème similaire
  isolé thermiquement : ΔQ = 0 donc l'énergie mécanique est transformée en énergie thermique
  P₀ V₀ = n R T₀   ("n" ne change pas)
• 1.a) P V = n R T ; conversion en chaleur : ΔQ = n C_V ΔT
  travail reçu : − (P₀ + m g/S) ΔV   (signe "−" car ΔV < 0 et le travail reçu est > 0)
  une partie sous forme de compression : − ∫ P dV et le reste sous forme de chaleur   (transformation irréversible)
  P = P₀ + m g/S   (équilibre avec la pression extérieure)
• 1.b) ΔU = ΔW = − (P₀ + m g/S) ΔV = n C_V ΔT = n C_V (T − T₀)
  T = T₀ − (P₀ + m g/S) (V − V₀) / (n C_V)
  . . . = T₀ − P (V − V₀) / (n C_V)
  . . . = T₀ − P V / (n C_V) + P V₀ / (n C_V)
  . . . = T₀ − R T / C_V + P V₀ / (n C_V)
  T (1 + R / C_V) = T₀ + P V₀ / (n C_V)
  T γ = T₀ + P V₀ / (n C_V)
  T = T₀ / γ + P V₀ / (n C_P)
  V = n R T / P
  ΔU = n C_V (T − T₀)
  l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température.
• 1.c) remarque ΔS = ∫ Q dT suivant un chemin réversible :
  premier chemin : (P₀, V₀, T₀) → (P₁, V, T₀)
  on laisse le travail reçu qui échauffe le gaz partir pour rester à T₀ : U = n C_V T₀ constant
  ΔU = 0 = δW + δQ ⇒ δQ = − δW
  ΔS₁ = ∫ δQ / T₀ = −∫ δW / T₀ = ∫ P dV / T₀ = ∫ n R T₀ / (V T₀) dV = n R ln(V/V₀)
  deuxième chemin : (P₁, V, T₀) → (P, V, T) par chauffage à volume constant
  ΔS₂ = ∫ δQ / T = ∫ n C_V dT / T = n C_V ln(T/T₀)
  ΔS_Univers = ΔS₁ + ΔS₂ > 0 car la transformation est irréversible
  ΔS_Univers = n R ln(V/V₀) + n C_V ln(T/T₀)
• 1.c) réponse à la question : 1 − V₀/V < ln(V/V₀) < V/V₀ − 1
  de même : 1 − T₀/T < ln(T/T₀) < T/T₀ − 1
  n R (1 − V₀/V) + n C_V (1 − T₀/T) < ΔS
  d'après 1.b) ΔU = n C_V (T − T₀) = − P (V − V₀)
  ΔU/T = n C_V (1 − T₀/T) = − PV/T (1 − V₀/V)
  ΔU/T = n C_V (1 − T₀/T) = − n R (1 − V₀/V)
  d'où : n R (1 − V₀/V) + n C_V (1 − T₀/T) = 0 < ΔS
• 2) En procédant en 2 étapes, la compression est moins irréversible, donc l'entropie de l'Univers augmente moins.
  le gaz sera plus comprimé et moins chaud.
  en N étapes (N infini) : la compression est réversible :
    l'augmentation d'entropie est nulle ∫ δQ / T = 0 car δQ = 0 : le gaz sera plus comprimé et moins chaud.
  P V^γ = P₀ V₀^γ
  P V / T = P₀ V₀ / T₀
  donc en éliminant V : P^1−γ T^γ = P₀^1−γ T₀^γ
  V^γ = (P/P₀) V₀^γ avec γ = C_P/C_V = (R/C_V) + 1
  V = V₀ (P/P₀)^1/γ
  T^γ = (P₀/P)^1−γ T₀^γ
  T = T₀ (P₀/P)^(1−γ)/γ
  T = T₀ (P₀/P)^{(C_V−C_P)/C_P}
  T = T₀ (P₀/P)^−R/C_P
• Comparaison : P = k P₀
  irréversible : T = T₀ / γ + k P₀ V₀ / (n C_P) = T₀ ( 1/γ + k R / C_P ) = T₀ (C_V/C_P + k R / C_P)
  T = T₀ (C_V + k R) / C_P = T₀ (1 + (k−1) R / C_P)
  réversible : T = T₀ k^R/C_P = T₀ e^{R/C_P ln(k)} = T₀ (1 + R/C_P ln(k) + . . .)
  ln(k) croît beaucoup moins vite que (k−1)

  ---

• Exercice 2 : pas de quasi-équilibre : irréversible
  2.1-3) ΔU global = 0 : ΔQ₁ = − ΔQ₂
  sytème isolé : ΔQ₁ + ΔQ₂ = 0
  chauffage à volume constant ⇒ −∫PdV = 0 : ΔQ = n C_V ΔT = ΔU
  chauffage à pression constante ⇒ −∫VdP = 0 : ΔQ = n C_P ΔT = ΔH
  ΔQ₁ = n₁ C_p1 (T_f − T₁) = − n₂ C_p2 (T_f − T₂)
  T_f (n₁ C_p1 + n₂ C_p2) = n₁ C_p1 T₁ + n₂ C_p2 T₂
  T_f = (n₁ C_p1 T₁ + n₂ C_p2 T₂) / (n₁ C_p1 + n₂ C_p2)
  en prenant n₁ = n₂ = n :
  ΔQ₁ = n C_p1 ((C_p1 T₁ + C_p2 T₂)/(C_p1 + C_p2) − T₁)
  . . . = n C_p1 (C_p1 T₁ + C_p2 T₂ − T₁(C_p1 + C_p2)) /(C_p1 + C_p2)
  . . . = n C_p1 C_p2 (T₂ − T₁) / (C_p1 + C_p2)
  2.4) ΔS₁ = ∫_rév δQ/T de T₁ à T_f
  chauffage par une source à la température T : δQ = n C_p1 δT
  ΔS₁ = n C_p1 ln(T_f/T₁)
  ΔS₂ = n C_p2 ln(T_f/T₂)
  ΔS de la température la plus élevée < 0
  ΔS de la température la plus basse > 0
  ΔS_Univers = ΔS₁ + ΔS₂ = n C_p1 ln(T_f/T₁) + n C_p2 ln(T_f/T₂)
  . . . = n ln[(T_f/T₁)^C_p1 (T_f/T₂)^C_p2]
  . . . = n ln[T_f^C_p1+C_p2 / T₁^C_p1 T₂^C_p2) ]
  ΔS_Univers = n [ (C_p1+C_p2) ln(T_f) − C_p1 ln(T₁) − C_p2 ln(T₂) ]

  ---

• Exercice 3 :
  1) ΔS(eau) = ∫_rév δQ/T de T₁ à T₀ = m C ln(T₀/T₁)
  ΔS(thermostat) = ∫_rév δQ/T₀ = m C (T₀ − T₁) / T₀
  2) en fractionnant, l'entropie totale est moindre car un peu moins irréversible
  3) n thermostats à des températures T₁ + k (T₀ − T₁)/n avec k allant de 1 à n
  n → ∞, alors ∑ ΔS(thermostats) = − ΔS(eau)

retour aux menus : prépa sup     math