cours du 09 mai 2019 Electrostatique [répertoire]

• énoncé 6 :   énoncés 7 . . . :  
• développements limités usuels
  E = − ∇ V
  V(M) ≈ V(0) + ∂V/∂x(0) x + ∂V/∂y(0) y + ∂²V/∂x∂y(0) x y + ∂²V/∂²x(0) x²/2 + ∂²V/∂y²(0) y²/2 + O(r³)
  √1+x = 1 + x/2 − x²/8 + O(x³)
  application du théorème de Gauss :
  • lien : Th-Gauss (très détaillé)
  • plan infini : surface fermée de base S à une hauteur x au-dessus du plan et l'autre base à la hauteur −x
    le champ est ⊥ plan car à tous élément σ dS possède des symétriques % à la projection du point M,
    formant un anneau, annulant toutes les contributions // au plan
    Flux(E) = 2 S E = Q / ε₀ = σ S / ε₀ ⇒ E(x) = σ / (2 ε₀)   indépendant de x
  • cylindre infini plein
  • cylindre infini creux : surface cylindrique fermée de longueur L, de rayon r > R
    les symétries imposent au champ E d'être radial dans un plan ⊥ à l'axe du cylindre
    Flux(E) = 2 π r L E = Q / ε₀ = σ 2 π R L / ε₀ ⇒ E(r) = σ R / (r ε₀)
    pour r < R : le champ sur la surface cylindrique est nul car il n'y a pas de charge à l'intérieur
  • sphère creuse : surface sphérique de rayon r > R
    les symétries imposent au champ E d'être radial
    Flux(E) = 4 π r² E = Q / ε₀ = σ 4 π R² / ε₀ ⇒ E(r) = σ R² / (r² ε₀)
    en remplaçant σ 4 π R² par Q, on obtient : E(r) = Q / (4 π ε₀ r²)
    pour r < R : le champ à sur la surface sphérique est nul car il n'y a pas de charge à l'intérieur
    E(r) = 0
  • sphère pleine :
    1) surface sphérique de rayon r > R
    Flux(E) = 4 π r² E = Q / ε₀ = ρ V = ρ (4/3) π R³
    E(r) = Q / (4 π ε₀ r²) = ρ R³ / (3 ε₀ r²)
    2) surface sphérique de rayon r < R : la charge intérieure à la surface dépend de r
    Flux(E) = 4 π r² E(r) = Q(r) / ε₀ = ρ V(r) / ε₀ = ρ (4/3) π r³ / ε₀
    E(r) = ρ (4/3) π r³ / (4 π r² ε₀)
    E(r) = ρ r / (3 ε₀)
    en utilisant Q(r) = ρ (4/3) π r³ = Q r³ / R³
    E(r) = Q r / (4 π ε₀ R³)
• exercice 6 : E = E(anneau) + E(q) + E₀
  • E(anneau) : peut-on appliquer le théorème de Gauss (flux(E) = q / ε₀) ?
    Non, car l'anneau n'est ni sphérique, ni cylindrique, ni un plan
    Il faut donc intégrer le champ ou le potentiel.
    élément d'intégration : dq = λ dl = λ R dθ   (avec θ ∈ [0, 2π])
    Champ d'un anneau trop compliqué à calculer
    sur internet, les problèmes de champ d'un anneau ne demandent que le champ sur l'axe de l'anneau.
    HYPOTHESE : l'énoncé voulait peut-être dire un cylindre au lieu d'un anneau ,
    dans ce cas le flux de E, pour ρ > R : flux(E) = 2 π ρ L E_ρ = σ 2 π R L / ε₀
    E_ρ = σ R / (ρ ε₀)
  • la symétrie du problème permet de dire que E_φ(anneau) = 0
    tout élément dq = λ dl = λ R dθ possède un symétrique par rapport à la droite OM,
    donc le champ E, dans le plan de l'anneau est radial
     
  • charge ponctuelle q : E_ρ(q) = 1/(4 π ε₀) q / ρ²   radial
  • distribution selon Ox ⇒ champ radial
    E_ρ = E₀   flux non conservatif dans le vide
    ⇒ pour que le flux soit conservatif, il faut des charges dans tout l'espace (jusqu'à l'infini)
    densité de charge rho :
    entre r et r+dr : flux(E) = 2 π (r+dr) L E₀ − 2 π r L E₀ = dq / ε₀ = 2 π r dr L rho / ε₀
    2 π dr L E₀ = 2 π r dr L rho / ε₀
    densité de charge rho(r) = ε₀ E₀ / r
  • potentiel : V(infini) n'est pas 0 car il y a des charges à l'infini : nous prendrons V(R)
    V(ρ) = V(R) + ∫_R^r −E dρ
    REMARQUE : le potentiel est continu lors de la traversée de l'anneau : V(ρ) = V(R)
• exercice 7 : schéma : A=(a,0), B(0,a), C=(−a,0), D=(0,−a)
  • V(M) = ∑_q 1/(4 π ε₀) q / r_qM
    r_qM² = (x − x_q)² + (y − y_q)²
    V(M) = 1/(4 π ε₀) q [ 1 / √(x − a)² + (y − 0)² + 1 / √(x − 0)² + (y − a)² + 1 / √(x + a)² + (y − 0)² + 1 / √(x − 0)² + (y + a)² ]
    V(M) = 1/(4 π ε₀) q [ 1 / √(x − a)² + y² + 1 / √(x² + (y − a)² + 1 / √(x + a)² + y² + 1 / √x² + (y + a)² ]
  • 2 cas intéressants dans lesquels on peut faire des approximations :
    r ≫ a : la structure des charges ne se voit plus : V = 1/(4 π ε₀) 4 q / r
    r ≪ a : on peut développer (1+x/a) et (1+y/a)
  • r ≫ a : la structure des charges ne se voit plus : V = 1/(4 π ε₀) 4 q / r
    à partir de la formule précédente, on factorise r pour faire apparaître a/r ≪ 1
    V(M) = 1/(4 π ε₀) q [ 1 / (r √(x/r − a/r)² + (y/r)²) + 1 / (r √(x/r)² + (y/r − a/r)²) + 1 / (r √(x/r + a/r)² + (y/r)²) + 1 / (r √(x/r)² + (y/r + a/r)²) ]
    V(M) = 1/(4 π ε₀) q [ 1 / (r √(cosφ − a/r)² + (sinφ)²) + 1 / (r √(cosφ)² + (sinφ − a/r)²) + 1 / (r √(cosφ + a/r)² + (sinφ)²) + 1 / (r √(cosφ)² + (sinφ + a/r)²) ]
    V(M) ≈ 1/(4 π ε₀) q [ 1 / (r √1 − 2(a/r)cosφ + a²/r²) + 1 / (r √1 − 2(a/r)sinφ + a²/r²) + 1 / (r √1 + 2(a/r)cosφ + a²/r²) + 1 / (r √1 + 2(a/r)sinφ + a²/r²) ]
    limite quand a/r → 0 : V(M) ≈ 1/(4 π ε₀) q [ 4 / r ]
  • r ≪ a : au lieu de factoriser r pour faire apparaître a/r, on factorise a pour faire apparaître r/a
    V(M) = 1/(4 π ε₀) q [ 1 / (a √(x/a − 1)² + (y/a)²) + 1 / (a √(x/a)² + (y/a − 1)²) + 1 / (a √(x/a + 1)² + (y/a)²) + 1 / (a √(x/a)² + (y/a + 1)²) ]
    V(M) = 1/(4 π ε₀) (q/a) [ 1 / √1 − 2 x/a + (x/a)² + (y/a)² + 1 / √1 − 2 y/a + (x/a)² + (y/a)² + 1 / √1 + 2 x/a + (x/a)² + (y/a)² + 1 / √1 + 2 y/a + (x/a)² + (y/a)² ]
    les termes de premier degré vont s'annuler
    développement limité (u → 0) : (1 + u)^−1/2 = ? ? ? demandé dans la question suivante
    (1 + u)^−1/2 = 1 − u/2 + (−1/2)(−3/2)(u²/2) + O(x³)
    V(M) ≈ V(0) + ∂V/∂x(0) x + ∂V/∂y(0) y + ∂²V/∂x∂y(0) x y + ∂²V/∂²x(0) x²/2 + ∂²V/∂y²(0) y²/2
    par symétrie : quand on change x en −x : on retrouve les 4 mêmes distances : V(x,y) = V(−x,y) donc tous les termes de puissance impaire en x sont nuls
    par symétrie : quand on change y en −y : on retrouve les 4 mêmes distances : V(x,y) = V(x,−y) donc tous les termes de puissance impaire en y sont nuls
    ⇒ V(M) ≈ V(0) + ∂²V/∂²x(0) x²/2 + ∂²V/∂y²(0) y²/2
    V(x,y) = V(0) + ∂²V/∂²x(0) x²/2 + ∂²V/∂y²(0) y²/2
    par symétrie : quand on échange x et y, on retrouve les 4 mêmes distances : V(x,y) = V(y,x)
    en O : V(x,y) = V(y,x) ⇒ ∂V(x,y)/∂x = ∂V(y,x)/∂x = ∂V(x,y)/∂y . . .
    V(x,y) = V(0) + ∂²V/∂²x(0) (x² + y²)/2
    remarque : en O, x/a, y/a = 0 : V(O) ≈ 1/(4 π ε₀) q [ 4 / a ]
  • développement limité (u → 0) : f(u) = (1 + u)^−1/2 : f(0) = 1
    f '(u) = −1/2 (1 + u)^−3/2 : f '(u) = −1/2
    f ''(u) = (−1/2) (−3/2) (1 + u)^−5/2 : f ''(0) = 3/4
    f(u) = f(0) + f '(0) u + f ''(0) u²/2 + O(u³)
    f(u) = 1 + −1/2 u + 3/8 u² + O(u³)
    f(A) = 1 / √1 − 2 x/a + (x/a)² + (y/a)²
    avec u = − 2 x/a + (x/a)² + (y/a)²
    f(A) = 1 + −1/2 u + 3/8 u² + O(u³)
    f(A) ≈ 1 + −1/2 (− 2 x/a + (x/a)² + (y/a)²) + 3/8 (− 2 x/a + (x/a)² + (y/a)²)²
    Il faut bien garder le premier terme de u² qui est d'ordre 2
    f(A) ≈ 1 + x/a − 1/2 (x/a)² − 1/2 (y/a)² + 3/8 (4 (x/a)² + O((x/a)³)
    f(A) ≈ 1 + x/a − 1/2 (x/a)² − 1/2 (y/a)² + 3/2 (x/a)²
    f(A) ≈ 1 + x/a + (x/a)² − 1/2 (y/a)²
    f(B) : on échange x et y : f(B) ≈ 1 + y/a + (y/a)² − 1/2 (x/a)²
    f(C) : on remplace a par −a dans f(A) : f(C) ≈ 1 − x/a + (x/a)² − 1/2 (y/a)²
    f(D) : on remplace a par −a dans f(B) : f(D) ≈ 1 − y/a + (y/a)² − 1/2 (x/a)²
    regroupement : f(A) + f(B) + f(C) + f(D) = 4 + 0 + (x/a)² + (y/a)²
    V(M) ≈ 1/(4 π ε₀) q/a [ f(A) + f(B) + f(C) + f(D) ]
    V(M) ≈ 1/(4 π ε₀) q/a [ 4 + (x/a)² + (y/a)² ]
    V(M) ≈ 1/(4 π ε₀) 4q/a + 1/(4 π ε₀) q (x² + y²)/a³
    comparé au développement limité de V(M) dans la question précédente : V(x,y) = V(0) + ∂²V/∂²x(0) (x² + y²)/2
    ∂²V/∂²x(0) (x² + y²)/2 = 1/(4 π ε₀) q (x² + y²)/a³
    ∂²V/∂²x(0) = 2 q /(4 π ε₀ a³)
• ligne de champ : dM = k E soit dx/E_x = dy/E_y = dz/E_z
  A_ρ = 2 (k / ρ³) cos φ ; A_φ = (k / ρ³) sin φ ;
  éléments de distance : dρ, ρdφ (Problème 2D)
  dρ / A_ρ = ρ dφ / A_φ
  équation : dρ/dφ = ρ A_ρ / A_φ
  dρ/dφ = ρ (2 (k / ρ³) cos φ) / ((k / ρ³) sin φ)
  dρ/dφ = ρ (2 cos φ) / (sin φ) = 2 ρ (cos φ / sin φ)
  méthode de séparation des variables : les rho à gauche et les phi à droite, sans mélange
  dρ / ρ = 2 cos φ dφ / sin φ
  intégration : ∫ dρ / ρ = ∫ 2 cos φ dφ / sin φ
  ln(ρ) = 2 ln(sin φ) + K = ln(A sin²φ)
  constante d'intégration : + K ou × A dans le ln()
  on prend l'exponentielle : ρ = A sin²φ   (équation des lignes de champ)
  Potentiel V : A = − grad V
  A_ρ = − ∂V/∂ρ = 2 (k / ρ³) cos φ
    on a dérivé % ρ : le terme en φ n'a pas été modifié : V = f(ρ) cos φ
  A_φ = − ∂V/(ρ ∂φ) = (k / ρ²) sin φ
    on a dérivé % φ : le terme en ρ n'a pas été modifié : V = K (k / ρ²) cos φ
  détermination de la constante K :
  − ∂V/∂ρ = − K (k (−2)/ ρ³) cos φ = A_ρ   ⇒ K = 1
  − ∂V/(ρ ∂φ) = − K (k / ρ²) (−sin φ) = A_φ   ⇒ K = 1
  potentiel(A) : V = (k / ρ²) cos φ
• champ proche d'une surface : E 2 dS = σ dS / ε₀ ⇒ E = σ / (2 ε₀)
  équivaut au plan infini
• Intégration d'un volume : dV
  cartésien : dV = dx dy dz
  cylindrique : dV = dr r dθ dz   (0 ≤ θ ≤ 2π)
  sphérique : dV = r sin θ dφ r dθ dr   (0 ≤ θ ≤ π) (0 ≤ φ ≤ 2π)

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