cours du 20 mai 2019 Electrostatique [répertoire]

• Rappel : champ en un point M :
  un élément de charge rho dV crée un élément de champ dE (vecteur)
  S'il existe systématiquement un élément symétrique de rho dV, il créera un élément de champ symétrique de dE
  → Pour le plan : symétrie par rapport à la droite perpendiculaire au plan passant par M
  Les composantes parallèles au plan se neutralisent : il ne reste que la composante perpendiculaire au plan.
• Champ d'un plan : en M (x0, y0, z0)
  • direction du champ E ?
    chaque charge dq = rho(x,y,z) dV crée le champ dE = 1/(4πε₀) (x0−x, y0−y, z0−z)/r^3
    Il existe un élément symétrique de dq par rapport à la droite (x=x0, y=y0) : (x',y',z') = (2x0−x,2y0−y,z)
    Pour trouver le symétrique : x + x' = 2 milieu = 2 x0
    On peut aussi choisir de mettre l'origine des axes sous le point M afin que M=(0, 0, z0)
    toute charge (x,y,z) a une symétrique par rapport à Oz : (−x,−y,z) à la même distance de M
    somme des 2 champs élémentaires : dE+dE' = 1/(4πε₀) (−x, −y, z0−z)/r^3 + 1/(4πε₀) (x, y, z0−z)/r^3
    les composantes en x et y s'annulent : dE+dE' = 1/(4πε₀) 2 (0, 0, z0−z)/r^3
    il ne lui reste que la composante en z
  • Valeur du champ E : théorème du flux de Gauss
    cylindre de rayon r : r^2 = x^2 + y^2 allant de −z0 à +z0
    flux du champ : 2 S E   (pas de flux latéral)
    charge intérieure : cas |z| > a : Q = μ V = μ S 2 a
    μ S 2 a / ε₀ = 2 S E   ⇒   |E| = μ a / ε₀   (constant)
    cas z > +a : E = +μ a / ε₀
    cas z < −a : E = −μ a / ε₀
    charge intérieure : cas |z| < a : Q = μ V = μ S 2 z
    μ S 2 z / ε₀ = 2 S E   ⇒   |E| = μ z / ε₀
    cas −a < z < 0 : E = (0, 0, μ z / ε₀)   (z<0)
    cas 0 < z < +a : E = (0, 0, μ z / ε₀)   (z>0)
  • V = V0 − ∫ E dl   Comme il y a des charges à l'infini, on ne peut pas prendre V(infini)=0
    cas |z| < a : V = − ∫₀^z E dz' = − ∫₀^z μ z' / ε₀ dz'
      V(z) = − [ μ z'² / (2 ε₀) ]₀^z
      V(z) = − μ z² / (2 ε₀)
    à la limite : V(a) = V(−a) = − μ a² / (2 ε₀)
    cas z > a : V(z) = V(a) − ∫_a^z E dz' = V(a) − ∫_a^z μ a / ε₀ dz'
      V(z) = V(a) − μ a (z − a) / ε₀
      V(z) = − μ a² / (2 ε₀) − μ a (z − a) / ε₀
      V(z) = (μ a / ε₀) (a/2 − z)
    cas z < −a : V(z) = V(−a) − ∫_−a^z E dz' = V(−a) − ∫_−a^z −μ a / ε₀ dz'
      V(z) = V(−a) + μ a (z + a) / ε₀
      V(z) = − μ a² / (2 ε₀) + μ a (z + a) / ε₀
      V(z) = (μ a / ε₀) (a/2 + z)

    z	−∞		−a		0		a		∞
    Ez	−μ a / ε0		μ z / ε0					μ a / ε0
    V	(μ a / ε0) (a/2 + z)		− μ z2 / (2 ε0)					(μ a / ε0) (a/2 − z)

  • limite quand a → 0 avec μ a constant :
    cas z > 0 : E(z) → μ a / ε₀ à comparer à σ / (2 ε₀)
    donc : σ = 2 μ a   (feuille plane équivalente)
• Charge sphérique : champ en M
  • comme toutes les directions sont identiques depuis le centre de la sphère,
    on peut prendre Oz = OM
    à tout point dq (x,y,z) correspond un point (-x,-y,z) symétrique par rapport à Oz
    OU : à tout point dq (r,θ,φ) correspond un point (r,θ,φ+π)
    donc le champ E est radial
    cas r < a₀ : flux = S E = q/ε₀
    4πr² E = ρ (4/3) πr³/ε₀
    avec ρ = q / V = e / ((4/3) π a₀³) = 3 e / (4 π a₀³)
    E = ρ (4/3) πr³ / (4 π ε₀ r²)
    E = 3 e / (4 π a₀³) (4/3) πr³ / (4 π ε₀ r²)
    E = e r / (4 π ε₀ a₀³)
    cas r > a₀ : flux = S E = e/ε₀
    4πr² E = e/ε₀
    E = e / (4 π ε₀ r²)
  • V(r) = V(infini) − ∫_∞^r E dr'
    cas r > a₀ : V(r) = − ∫_∞^r e / (4 π ε₀ r'²) dr'
    V(r) = − [−e / (4 π ε₀ r')]_∞^r = e / (4 π ε₀ r)
    cas r > a₀ : V(r) = V(a₀) − ∫_a0^r E dr'
    V(r) = e / (4 π ε₀ a₀) − ∫_a0^r e r' / (4 π ε₀ a₀³) dr'
    V(r) = e / (4 π ε₀ a₀) − [e r'² / (8 π ε₀ a₀³)]_a0^r
    V(r) = e / (4 π ε₀ a₀) − [e r² / (8 π ε₀ a₀³)] + [e a₀² / (8 π ε₀ a₀³)]
    V(r) = e / (4 π ε₀ a₀) − [e r² / (8 π ε₀ a₀³)] + [e / (8 π ε₀ a₀)]
    V(r) = 3 e / (8 π ε₀ a₀) − [e r² / (8 π ε₀ a₀³)]
    V(r) = e / (8 π ε₀ a₀) [ 3 − (r² / a₀²)]
    On vérifie le bon raccordement en r=a₀
  • E_p(e) = e V(r)
  • dE_p/dr = 0 : 2 r = 0 : r = 0 avec E(0) = 0
    stabilité, quand on s'éloigne de O, le champ E dirigé vers l'extérieur éloigne l'électron
      au lieu de le ramener vers O : équilibre instable
• Sphère creuse : les flux ne s'appliquent qu'avec des sphères concentriques : O = O' ; alors E = 0 d'après le flux
  sinon : théorème de superposition : champ de la sphère(R) pleine - champ de la sphère(r) pleine
  prendre Oz = OO'
  Dans la plan OO'M : (ce qui revient à fixer φ)
  E(O) = q / (4 π ε₀ r²) = μ 4 π r³ / (12 π ε₀ r²) = μ r / (3 ε₀)
  dans la direction u_r = (ρ, z)/r
  avec r = √ρ² + z²
  E(O') = q' / (4 π ε₀ r'²) = μ r' / (3 ε₀)
  avec d = OO'
  r' = √r² + d² − 2 r d cos(θ)
  dans la direction u_r' = (ρ, z−d)/r'

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