Fourier_26_09.pdf   [répertoire]

• les termes de la série de Fourier : f(x) = Σ a_n sin(n ω x) + b_n cos(n ω x) sont orthogonaux
  c'est à dire que intégrale[0, T] de sin(n ω x) sin(p ω x) = 0 si n != p
  pour trouver les coefficients a_n, on calcule :
  intégrale f(x) sin(n ω x) dx = ∫ a_n sin(n ω x) sin(n ω x) dx sur [0, T]
  voir page 5, première ligne
• cours : ω = 2π/T
  f(x) = Σ[−∞:∞[ c_n exp(i n ω x)
  c_n = 1/T ∫[T] f(t) exp(−i n ω t) dt
  f(x) = a₀ + Σ[1:∞[ a_n cos(n ω x) + b_n sin(n ω x)
  a_n = 2/T ∫[T] f(t) cos(n ω t) dt
  b_n = 2/T ∫[T] f(t) sin(n ω t) dt
• à savoir (retrouver) :
  ∫ t cos(αt) dt = t sin(αt)/α + cos(αt)/α²
  ∫ t sin(αt) dt = −t cos(αt)/α + sin(αt)/α²
  ∫ t² cos(αt) dt = t² sin(αt)/α + 2t cos(αt)/α² − 2 sin(αt)/α³
  ∫ t² sin(αt) dt = −t² cos(αt)/α + 2t sin(αt)/α² + 2 cos(αt)/α³
• trigo :
  cos(a+b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
  sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
  cos(a−b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
  sin(a−b) = sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b)
  cos(a+b) + cos(a−b) = 2 cos(a) cos(b)
  −cos(a+b) + cos(a−b) = 2 sin(a) sin(b)
  sin(a+b) + sin(a−b) = 2 sin(a) cos(b)
• exercices page 8-9-12
• page 8 : fonction dents de scie : T = 2π soit ω = 2π/T = 1
  fonction paire : b_n = 0 : pas de sinus (impairs)
  a_n = 2/T ∫ f(x) cos(nx) dx sur [−π, +π]
  I1 = ∫ f(x) cos(nx) dx sur [−π, 0] = ∫ f(−u) cos(−nu) (−du) sur [π, 0]
  I1 = ∫ f(u) cos(nu) du sur [0, π] = I2
  an = 2/π ∫ (1−2x/π) cos(nx) dx sur [0, π]
  an = 2/π ( J1 − J2 )
  J1 = ∫ cos(nx) dx = sin(nx)/n = 0
  J2 = ∫ 2x/π cos(nx) dx = ∫ u v' dx = [u v] − ∫ u' v dx
  u = x ; v' = cos(nx) : u' = 1 ; v = sin(nx)/n
  J2 = 2/π ( [x sin(nx)/n] − ∫ sin(nx)/n dx )
  J2 = −2/π ∫ sin(nx)/n dx = −2/π [ −cos(nx)/n² ]
  J2(n) = [ 2 cos(nx) /(πn²) ] sur [0, π]
  cas n pair : cos(nπ) = 1 ⇒ J2(n) = 0
  cas n impair : cos(nπ) = −1 ⇒ J2(n) = −4 / (πn²)
  an = 2/π 4 / (πn²) = 8 / (πn)²
  f(x) = Σ(n=impair) an cos(nx)
  x = 0 : 1 = Σ(n=impair) an = 8/π² Σ(n=impair) 1/n²
  S(impair) de 1/n² = π²/8
  résultat à trouver : S(pair) de 1/n² = π²/24
  résultat à trouver : S(totale) de 1/n² = π²/6
• c_n = 1/T ∫ f(x) exp(−inx) dx sur [−π, +π] = 1/(2π) (I1 + I2)
  I1 = ∫ f(x) exp(−inx) dx sur [−π, 0] = ∫ f(−u) exp(inu) (−du) sur [π, 0]
  I1 = ∫ f(u) exp(inu) du sur [0, π] = conjugué(I2) = I2
  I2 = ∫ f(x) exp(−inx) dx sur [0, π]
  I1 = ∫ (1 − 2x/π) exp(inx) dx sur [0, π]
  I1 = [exp(inx)/(in)] − 2/π ∫ x exp(inx) dx sur [0, π]
  I1 = [exp(inx)/(in)] − 2/π ∫ x exp(inx) dx sur [0, π]
  I1 = (exp(inπ) − 1)/(in) − 2/π J1
  J1 = ∫ x exp(inx) dx = [x exp(inx)/(in)] − ∫ exp(inx)/(in) dx sur [0, π]
  J1 = π exp(inπ)/(in) − [ exp(inx)/(in)² ] sur [0, π]
  J1 = π exp(inπ)/(in) − [ exp(inπ)/(in)² − 1/(in)² ]
  J1 = π exp(inπ)/(in) − exp(inπ)/(in)² + 1/(in)²
  n = 0 : c₀ = 1/T ∫ f(x) dx sur [−π, +π] = 1/(2π) 2 I1
  . . . I1 = ∫ (1 − 2x/π) dx sur [0, π] = [x] − [x²/π] = π − ([π²/π) = 0
  . . . c₀ = 0
  n pair (≠ 0) : exp(inπ) = exp(−inπ) = 1 ⇒ c_n = 1/(2π) (2 I1)
  . . . J1 = π 1/(in) − 1/(in)² + 1/(in)² = − i π/(in) = −π/n
  . . . I1 = (1 − 1)/(in) − 2/π J1 = − 2/π J1
  . . . c_n = 1/π 2/π π/n = 2/(πn)
  n impair : exp(inπ) = exp(−inπ) = −1 ⇒ c_n = 1/(2π) (2 I1)
  . . . J1 = π (−1)/(in) + 1/(in)² + 1/(in)² = iπ/n − 2/n²
  . . . I1 = (−1 − 1)/(in) − 2/π J1
  . . . I1 = 2i/n − 2/π ( iπ/n − 2/n² )
  . . . I1 = 4/(πn²)
  . . . c_n = 4/(πn)²