Réduction des endomorphismes   [répertoire]

• Pour la matrice A d'un endomorphisme f :
  Base de Im(f) :
  les vecteurs colonnes forment une famille génératrice de Im(f) ⇒ base de Im(f) en éliminant les vecteurs liés
  A = [ f(i), f(j), f(k), f(l) ]
  s'ils sont indépendants : dim(Im(f)) = n et dim(N(f)) = 0
  s'ils sont liés : dim(Im(f)) + dim(N(f)) = n
  si on ne voit pas, on résoud : a f(i) + b f(j) + c f(k) + d f(l) = 0 implique-t-il a=b=c=d=0 ?
  Base du noyau N(f) : A X = 0
  si une combinaison des vecteurs colonnes = 0 : c'est l'image d'un vecteur de N(f)
  exemple : a f(i) + b f(j) = 0 ⇒ f(a i + b j) = 0 donc a i + b j ∈ N(f)
  si on ne voit pas la combinaison, on résoud A X = 0
  Im(f) ∩ N(f) : ces vecteurs sont dans le noyau N(f²)
• calcul d'un polynôme caractéristique
  c(λ) = λ⁴ : valeur propre multiple nulle (toujours au moins 1 vecteur propre)
  calcul d'un déterminant : développer par rapport à une ligne ou une colonne
    choisir la ligne ou la colonne avec le plus de zéros ou de nombres simples
  exemple général : déterminant 4×4 : développement par rapport à une ligne : 4 termes avec des déterminants 3×3
  Pour chaque déterminant 3×3 : développement par rapport à une ligne : 3 termes avec des déterminants 2×2
  ATTENTION : ne pas oublier l'alternance des signes : facteur (−1)^i+j
• calcul de J^k : J = λI + N avec N³ = 0
  développement du binôme :
  cas k = 2 : J² = λ² + 2 λ N + N²
  cas k = 3 : J³ = λ³ + 3 λ² N + 3 λ N² + N³
    Or N³ = 0 ; donc J³ = λ³ + 3 λ² N + 3 λ N²
  cas k ≥ 3
  J^k = (λI + N)^k = λ^kI + (1 parmi k) λ^k−1 N + (2 parmi k) λ^k−2 N²
  J^k = λ^kI + k λ^k−1 N + k(k−1)/2 λ^k−2 N²
• exercice 3 : 1 valeur propre simple et 1 valeur propre multiple
  A et B ne sont pas semblables : elles ne représentent pas le même endomorphisme
  C(x) = (1−x) (2−x)² pour les 2 matrices
  transformation de la base réduite de A (i, j, k) → (i, 2j, 2k+j)
  (2I−A) i = 2i−i = i   ;   (2I−A) j = 2j−2j = 0   ;   (2I−A) k = 2k−(j+2k) = −j
  Il faut donc appliquer une deuxième fois (2I−A) : (2I−A)² k = (2I−A) (−j) = 0
  (I−A) i = i−i = 0
  (I−A) (2I−A)² = 0 ok (pour i, j, k donc pour tout vecteur)
  en développant : P(A) = A³ − 5 A² + 8 A − 4 I
  On vérifie que P(A) s'annule bien pour A = 1 et A = 2
  transformation de la base propre de B (i, j, k) → (i, 2j, 2k)
  (2I−B) i = 2i−i = i   ;   (2I−B) j = 2j−2j = 0   ;   (2I−B) k = 2k−2k = 0
  (I−B) i = i−i = 0
  donc : (I−B) (2I−B) = 0 ok (pour i, j, k donc pour tout vecteur)
  en développant : P(B) = B² − 3 B + 2 I
  On vérifie que P(B) s'annule bien pour B = 1 et B = 2
• exercices 1 et 2 page 31
  2 cas possibles :
  A = P D P⁻¹
  A = P (D+T) P⁻¹ avec T^k = 0
  rappel développement du binôme :
  (D+T)ⁿ = (0 parmi n)Dⁿ + (1 parmi n)Dⁿ⁻¹T + (2 parmi n)Dⁿ⁻²T² + . . . + (k−1 parmi n)D^n−k+1T^k−1 + 0
• Matrice (2 A) de l'application f (dans le repère (i,j,k)) :

  f(i)	f(j)	f(k)
  −2	4	2	i
  −1	2	1	j
  0	0	0	k

  Base de Im(f) :
  les vecteurs colonnes forment une famille génératrice de Im(f) ⇒ base de Im(f)
  [ f(i), f(j), f(k), f(l) ]
  s'ils sont indépendants : dim(Im(f)) = n et dim(N(f)) = 0
  s'ils sont liés : dim(Im(f)) + dim(N(f)) = n
  Base du noyau N(f) :
  si une combinaison des vecteurs colonnes = 0 : c'est l'image d'un vecteur de N(f)
  a f(i) + b f(j) = 0 ⇒ f(a i + b j) = 0 donc a i + b j ∈ N(f)
• Jordan : J = D + N

  f(u)	f(v)	f(w)	f(x)
  λ	1	0	0	u
  0	λ	1	0	v
  0	0	λ	1	w
  0	0	0	λ	x

  u → f(u) = λ u → f²(u) = λ² u
  v → f(v) = λ v + u → f²(v) = λ² v + λ u + u
  w → f(w) = λ w + v → . . .
  x → f(x) = λ x + w → . . .
  cas λ = 0 :
  u → f(u) = 0
  v → f(v) = u → f²(v) = f(u) = 0
  w → f(w) = v → f²(w) = f(v) = u → f³(w) = f(u) = 0
  x → f(x) = w → f²(x) = f(w) = v → f³(x) = f(v) = u → f⁴(x) = f(u) = 0 N² =

  f2(u)	f2(v)	f2(w)	f2(x)
  0	0	1	0	u
  0	0	0	1	v
  0	0	0	0	w
  0	0	0	0	x

  N³ =

  f3(u)	f3(v)	f3(w)	f3(x)
  0	0	0	1	u
  0	0	0	0	v
  0	0	0	0	w
  0	0	0	0	x

  N⁴ = 0
• exp(A) = développement en série entière = I + A + A²/2! + A³/3! + . . . juqu'à l'infini
  exp(J) = exp(D+N) = exp(D) × exp(N)
  exp(N) = I + N + N²/2! + N³/3! + 0   (car N⁴ = 0)
• Valeurs propres : det(A − λ I) = 0
  ici −λ³ = 0   (il existe un Noyau ≠ {0} : dim(N)≥1)
  Une seule valeur propre : λ = 0
  la matrice est nilpotente
  les 3 vecteurs de l'Image(f) sont liés : on voit même qu'ils sont proportionnels au premier :
  dim(Im(f))=1   ⇒   dim(N(f)) = 2
  base de Im(f) : X₀ = (2, 1, 0)
• Vecteurs propres : (A − λ I) X = 0
  2 degrés de liberté : X₁ = (1, 0, 1) et X₂ = (0, 1, −2)
  dim(Noyau(A)) = 2   (toutes les lignes sont proportionnelles à la première)
• Intersection de l'Image et du Noyau :
  Pour une matrice Nilpotente :
  comme le déterminant = 0 : dim(Im(f) ∩ N(f)) ≥ 1
  ici, dim(Im(f)) = 1   ⇒   dim(Im(f) ∩ N(f)) = 1
  Pour la première application de A, on va perdre les 2 dimensions du noyau
  Ensuite, pour la seconde application de A, on va perdre la dimension de Im(f) ∩ N(f)
  A² = 0
  Matrice de Jordan : f dans la base (b1, b2, b3)
  f(b1)=0 ; f(b2)=b1 ; f(b3)=0 :

  f(b1)	f(b2)	f(b3)				f	0	f	0
  0	1	0	b1		b1	→	0	→	0
  0	0	0	b2		b2	→	b1	→	0
  0	0	0	b3		b3	→	0	→	0

• Complément de la base propre : (A − λ I) X₃ = X₁   (ou X₂)
  Impossible à cause de la troisième ligne : (0, 0, 0)
  → Nouvelle base propre avec un zéro en z :
  X₂' = 2 X₁ + X₂ = (2, 1, 0)   (on retrouve la base de Im(f))
  (A − λ I) X₃ = X₂'
  −2 x + 4 y + 2 z = 2
  −x + 2 y + z = 1
  0 x + 0 y + 0 z = 0   ok
  les 2 équations sont proportionnelles
  x=2, y=1 ⇒ z = 1 + 2 − 2
  X₃ = (2, 1, 1)
  Matrice T = 2 A :

  A X1	A X2'	A X3
  0	0	0	X1
  0	0	1	X2'
  0	0	0	X3

  Matrice P :

  X1	X2'	X3
  1	2	2	i
  0	1	1	j
  1	0	1	k

  Calcul de P⁻¹

  1	2	2		1	0	0		L1 = L1
  0	1	1		0	1	0		L2 = L2 − 0 L1
  1	0	1		0	0	1		L3 = L3 − 1 L1
  1	2	2		1	0	0		L1 = L1 − 2 L2
  0	1	1		0	1	0		L2 = L2
  0	−2	−1		−1	0	1		L3 = L3 + 2 L2
  1	0	0		1	−2	0		L1 = L1 − 0 L3
  0	1	1		0	1	0		L2 = L2 − 1 L3
  0	0	1		−1	2	1		L3 = L3
  1	0	0		1	−2	0
  0	1	0		1	−1	−1
  0	0	1		−1	2	1

  Vérification : P P⁻¹ = I → ok
  Matrice P⁻¹ :

  i	j	k
  1	−2	0	X1
  1	−1	−1	X2'
  −1	2	1	X3

• Rappel :
  f(X)_i,j,k = A X_i,j,k
  X_X1,X2',X3 = P⁻¹ X_i,j,k
  f(X)_X1,X2',X3 = T P⁻¹ X_i,j,k
  f(X)_i,j,k = P T P⁻¹ X_i,j,k
  A = P T P⁻¹
  avec le facteur 2 : 2A = P T P⁻¹
  donc : A = P (T/2) P⁻¹
• indépendance des vecteurs colonnes f(i), f(j), . . .
  simplification du déterminant (triangularisation) par combinaison des colonnes
  tous les sous-déterminants non nuls
  dim(Im) + dim(N) = dim(E)
• Base du Noyau : résoudre A X = 0
  si Base du Noyau = Base de l'Image : A² = 0
  au deuxième appel, l'Image sera transformée en 0
• Cas possibles en dimension n = 3 :
  • dim(N(f)) = 0 : f ne peut pas être Nilpotente
  • dim(N(f)) = 1 : dim(N(f)∩Im(f)) = 1 ; dim(Im(f)) = 2
    Matrice de Jordan : f dans la base (b1, b2, b3)

    f(b1)	f(b2)	f(b3)				f	0	f	0	f	0
    0	1	0	b1		b1	→	0	→	0	→	0
    0	0	1	b2		b2	→	b1	→	0	→	0
    0	0	0	b3		b3	→	b2	→	b1	→	0

    f ³ = 0
  • dim(N(f)) = 2 : dim(N(f)∩Im(f)) = 1 ; dim(Im(f)) = 1
    Matrice de Jordan : f dans la base (b1, b2, b3)

    f(b1)	f(b2)	f(b3)				f	0	f	0
    0	1	0	b1		b1	→	0	→	0
    0	0	0	b2		b2	→	b1	→	0
    0	0	0	b3		b3	→	0	→	0

    f ² = 0
  • dim(N(f)) = 3 : f = 0
• Cas possibles en dimension n = 4 :
  • dim(N(f)) = 0 : f ne peut pas être Nilpotente
  • dim(N(f)) = 1 : dim(N(f)∩Im(f)) = 1 ; dim(Im(f)) = 3
    Matrice de Jordan : f dans la base (b1, b2, b3, b4)

    f(b1)	f(b2)	f(b3)	f(b4)				f	0	f	0	f	0	f	0
    0	1	0	0	b1		b1	→	0	→	0	→	0	→	0
    0	0	1	0	b2		b2	→	b1	→	0	→	0	→	0
    0	0	0	1	b3		b3	→	b2	→	b1	→	0	→	0
    0	0	0	0	b4		b4	→	b3	→	b2	→	b1	→	0

    f ⁴ = 0
  • dim(N(f)) = 2 : dim(N(f)∩Im(f)) = 1 ; dim(Im(f)) = 2
    Matrice de Jordan : f dans la base (b1, b2, b3, b4)

    f(b1)	f(b2)	f(b3)	f(b4)				f	0	f	0	f	0
    0	1	0	0	b1		b1	→	0	→	0	→	0
    0	0	1	0	b2		b2	→	b1	→	0	→	0
    0	0	0	0	b3		b3	→	b2	→	b1	→	0
    0	0	0	0	b4		b4	→	0	→	0	→	0

    f ³ = 0
  • dim(N(f)) = 2 : dim(N(f)∩Im(f)) = 2 ; dim(Im(f)) = 2
    Matrice de Jordan : f dans la base (b1, b2, b3, b4)

    f(b1)	f(b2)	f(b3)	f(b4)				f	0	f	0
    0	1	0	0	b1		b1	→	0	→	0
    0	0	0	0	b2		b2	→	b1	→	0
    0	0	0	1	b3		b3	→	0	→	0
    0	0	0	0	b4		b4	→	b3	→	0

    f ² = 0
  • dim(N(f)) = 3 : dim(N(f)∩Im(f)) = 1 ; dim(Im(f)) = 1
    Matrice de Jordan : f dans la base (b1, b2, b3, b4)

    f(b1)	f(b2)	f(b3)	f(b4)				f	0	f	0
    0	1	0	0	b1		b1	→	0	→	0
    0	0	0	0	b2		b2	→	b1	→	0
    0	0	0	0	b3		b3	→	0	→	0
    0	0	0	0	b4		b4	→	0	→	0

    f ² = 0
  • dim(N(f)) = 4 : f = 0
• matrice A de l'endomorphisme f nilpotent : (dans le repère (i,j,k)) :

  f(i)	f(j)	f(k)	f(l)
  3	−1	1	−7	i
  9	−3	−7	−1	j
  0	0	4	−8	k
  0	0	2	−4	l

• Valeurs propres : det(A − λ I) = 0

  3 − λ	−1	1	−7		L1 → 9 L1	dét /9
  9	−3 − λ	−7	−1		L2 → (3 − λ) L2	λ≠3 : dét / (3 − λ)
  0	0	4 − λ	−8		L3 → 2 L3	dét /2
  0	0	2	−4 − λ		L4 → (4 − λ) L4	λ≠4 : dét / (4 − λ)
  27 − 9λ	−9	9	−63
  27 − 9λ	λ2 − 9	−21 + 7λ	−3 + λ		L2 → L2 − L1
  0	0	8 − 2λ	−16
  0	0	8 − 2λ	λ2 − 16		L4 → L4 − L3
  27 − 9λ	−9	9	−63
  0	λ2	−30 + 7λ	60 + λ
  0	0	8 − 2λ	−16
  0	0	0	λ2

  Déterminant = 9 (3 − λ) λ⁴ 2 (4 − λ) / [18 (3 − λ) (4 − λ]
  Déterminant = λ⁴
  L'endomorphisme est nilpotent. Quel est le rang ?
  1) dim(Im(f)) et dim(N(f)) ?
  2) dim(Im(f) ∩ N(f)) ?
• Base de l'Image(f) : 4 vecteurs de l'image dans la base (i,j,k,l)
  "triangularisation" pour être sur d'avoir des vecteurs indépendants

  3	−1	1	−7
  9	−3	−7	−1
  0	0	4	−8
  0	0	2	−4

  Conservation du seul 1 de la colonne C3 :
  C1 → C1 − 3 C3
  C2 → C2 + C3
  C4 → C4 + 7 C3

  0	0	1	0
  30	−10	−7	−50
  −12	4	4	20
  −6	2	2	10

  Conservation du seul −10 de la colonne C2 :
  C1 → C1 + 3 C2
  C4 → C4 − 5 C2

  0	0	1	0
  0	−10	−7	0
  0	4	4	0
  0	2	2	0

  dim(Im(f)) = 2   donc   dim(N(f)) = 2
  Base de Im(f) : { X1=(1, −7, 4, 2), X2=(0, −5, 2, 1) }
  On peut prendre des combinaisons linéaires pour simplifier :
  X1 − 2 X2 : nouvel X1=(1, 3, 0, 0)
• Noyau de f ? f(X) = 0
  Noyau = f⁻¹( {0} )
  3 x − y + z − 7 t = 0
  9 x − 3 y − 7 z − t = 0
  4 z − 8 t = 0
  2 z − 4 t = 0
  d'après les 2 dernières équations : z = 2 t
  nouveau système :
  3 x − y + − 5 t = 0
  9 x − 3 y + − 15 t = 0
  d'après ces 2 équations : y = 3 x − 5 t
  Il y 2 degrés de liberté : x et t
  (x=1, t=0) : X3 = (1, 3, 0, 0)
  (x=0, t=1) : X4 = (0, −5, 2, 1)
  on retrouve 2 vecteurs qui appartiennent à l'Image(f)
  Sinon, il aurait fallu étudier si les familles (X1, X2, X3) et (X1, X2, X4) étaient liées ou libres.
  Conclusion : Im(f) = N(f) : soit dim(Im(f)∩N(f)) = 2
  lors de la première application de f, on perd dim(N(f)) = 2 dimensions
  à chaque application ultérieure de f, on perd dim(Im(f)∩N(f)) = 2 dimensions
  forme de la matrice de Jordan :

  f(b1)	f(b2)	f(b3)	f(b4)
  0	1	0	0	b1
  0	0	0	0	b2
  0	0	0	1	b3
  0	0	0	0	b4

  A² = 0
• Base de Jordan :
  on a déjà les 2 vecteurs propres (du Noyau(f)) :
  b1=(1, 3, 0, 0) et b3=(0, −5, 2, 1)
  f(b2) = b1
  f(b4) = b3
  f(b2) = b1 :
  3 x − y + z − 7 t = 1
  9 x − 3 y − 7 z − t = 3
  4 z − 8 t = 0
  2 z − 4 t = 0
  2 dernières équations : z = 2 t
  3 x − y − 5 t = 1
  9 x − 3 y − 15 t = 3
  d'où : y = 3 x − 5 t − 1
  vrai ∀ (x, t) : b2 = (x, 3 x − 5 t − 1, 2 t, t)
  On peut toujours ajouter des vecteurs du Noyau(f) :
  b2 = x (1, 3, 0, 0) + t (0, −5, 2, 1) + (0, −1, 0, 0)
  (x=0, t=0) : b2 = (0, −1, 0, 0)
  f(b4) = b3 :
  3 x − y + z − 7 t = 0
  9 x − 3 y − 7 z − t = −5
  4 z − 8 t = 2
  2 z − 4 t = 1
  2 dernières équations : z = 2 t + 1/2
  3 x − y + 1/2 − 5 t = 0
  9 x − 3 y − 7/2 − 15 t = −5
  3 x − y − 5 t + 1/2 = 0
  9 x − 3 y − 15 t − 3/2 = 0
  Eq2 = 3 Eq1 :
  y = 3 x − 5 t + 1/2
  vrai ∀ (x, t) : b4 = (x, 3 x − 5 t + 1/2, 2 t + 1/2, t)
  On peut toujours ajouter des vecteurs du Noyau(f)
  b4 = x (1, 3, 0, 0) + t (0, −5, 2, 1) + (0, 1/2, 1/2, 0)
  (x=0, t=0) → b4 = (0, 1/2, 1/2, 0)
• Vérifié numériquement !

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