Rayane, contrôle 1   [répertoire]

• sujet de l'exercice 5 :
  calculer l'incertitude standard sur g(L,τ,α) = 2 L / (τ² sin(α))
• → Il faut démontrer la formule !
• g(L,τ,α) = 2 L / (τ² sin(α)) : on sait que :
  (σ_g)² = (∂g/∂L)² (σ_L)² + (∂g/∂τ)² (σ_τ)² + (∂g/∂α)² (σ_α)²
  rappels : (x)' = 1 ; (x⁻²)' = −2x⁻³ ; (sin x)' = cos x ; (u⁻¹)' = −u' u⁻²
  calcul de ∂g/∂L : τ,α sont fixes, L varie : ∂g/∂L = 2/(τ²sin(α)) = g/L
  calcul de ∂g/∂τ : L,α sont fixes, τ varie : ∂g/∂τ = −4L/(τ³sin(α)) = −2g/τ
  calcul de ∂g/∂α : τ,L sont fixes, α varie : ∂g/∂α = −2L cos(α)/(τ²sin²(α)) = −g cos(α)/sin(α)
• Calcul des dérivées quand g est un produit :
  on simplifie les calculs en prenant le logarithme :
  Astuce : ln(g) = ln(2) + ln(L) − 2 ln(τ) − ln(sin(α))
  rappels : (ln u)' = u'/u = u' u⁻¹ ; propriété des log : ln(xⁿ) = n ln(x) ∀ n ∈ ℜ

  calcul de ∂g/∂L :	∂ln(g)/∂L = (∂g/∂L)/g = 1/L	⇒	(∂g/∂L) = g/L
  calcul de ∂g/∂τ :	∂ln(g)/∂τ = (∂g/∂τ)/g = −2/τ	⇒	(∂g/∂τ) = −2g/τ
  calcul de ∂g/∂α :	∂ln(g)/∂α = (∂g/∂α)/g = −cos(α)/sin(α) = −1/tan(α)	⇒	(∂g/∂α) = −g/tan(α)

• Comme les incertitudes sont indépendantes : on additionne les carrés
  propagation des écart-types :
  σ_g² = (∂g/∂L)² σ_L² + (∂g/∂τ)² σ_τ² + (∂g/∂α)² σ_α²
  σ_g² = (g/L)² σ_L² + (−2g/τ)² σ_τ² + (−g/tan(α))² σ_α²
  on divise par g² :
  (σ_g/g)² = (1/L)² σ_L² + (2/τ)² σ_τ² + (1/tan(α))² σ_α²
• Relis ton cours pour trouver cette méthode.
  Propagation_of_uncertainty
  Soit : f(x₁, x₂, . . , x_n)
  propagation des écart-types : σ_f² = ∑_j (∂f/∂x_j)² σ_j²
• Méthode : quand f est un produit, on prend le log(f) : ce qui permet de factoriser f
  exemple : f = x₁ⁿ g(x₂, . . , x_n)
  ln(f) = n ln(x₁) + ln(g)
  dérivée par rapport à x₁ : (∂f/∂x₁)/f = n (∂x₁/∂x₁)/x₁ + (∂g/∂x₁)/g
  (∂f/∂x₁)/f = n/x₁ + 0
  (∂f/∂x₁) = n f / x₁
• application numérique :
  utiliser les unités MKSA
  attention au cas particulier des angles : (σ_α/tan(α))² tangente n'a pas d'unité : on ne peut pas prendre σ_α en degrés :
  il faut prendre σ_α en radians : conversion σ_α° = σ_α° * PI / 180°

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• Pour les ensembles, la table de vérité est bien plus efficace :
  pour 2 ensembles A et B : E = (A∩B) ∪ (A∩B^C) ∪ (A^C∩B) ∪ (A^C∩B^C)
  on traite ces 4 ensembles élémentaires disjoints pour obtenir le résultat général.
  si la propriété est vraie pour les 4 ensembles élémentaires, la propriété est vraie pour E
• nos 3 derniers cours
  ensembles

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