integration python   [répertoire]

• référence des algorithmes de calcul d'intégrales : I = ∫_a^b f(x) dx :
  Analyse numérique   avec les programmes en python, et un majorant de l'erreur de la méthode.
• 3 méthodes : 3 modes d'approximation de la courbe à intégrer
  • on découpe l'intervalle d'intégration en n intervalles constants (méthode à pas constant)
    h = (b − a) / n
    n intervalles élémentaires : [α_i, β_i] = [a + ih, a + (i+1)h]
    sur lesquels on intègre rigoureusement un polynôme approximant f(x)
  • rectangles : f(x) est remplacée par une fonction constante f(α_i)
    • sur l'intervalle [α_i, β_i] : approximation f(x) ≈ f(α_i) ∀ x
      I = ∫_αi^β_i f(x) dx ≈ h f(α_i)
  • trapèzes : f(x) est remplacée par une fonction linéaire passant par les extrêmités : (α_i, f(α_i)) et (β_i, f(β_i))
    ce qui revient à une fonction constante moyenne [f(α_i) + f(β_i)] / 2
    • sur l'intervalle [α_i, β_i] : coefficient directeur p = [f(β_i) − f(α_i)] / h
      approximation f(x) ≈ f(α_i) + p (x − α_i)
      I = ∫_αi^β_i f(x) dx ≈ h [f(α_i) + f(β_i)] / 2
  • paraboles : f(x) est remplacée par un polynôme du second degré
    • sur l'intervalle [α_i, β_i] : approximation f(x) ≈ a x² + b x + c
      en posant : x = (α_i + β_i) / 2
        ainsi que f(α_i) = y₀ ; f(x) = y₁ ; f(β_i) = y₂
      a = 2 (y₀ − 2 y₁ + y₂) / h²
      b = −((h + 4 x) y₀ − 4 x (2 y₁ − y₂) − h y₂) / h²
      c = −(2 x² (2 y₁ − y₂) − h² y₁ + h x y₂ − (h x + 2 x²) y₀) / h²
      I = ∫_αi^β_i f(x) dx ≈ (y₀ + 4 y₁ + y₂) h / 6
• précision
  • précision machine : ou plutôt précision mémoire.
    les nombres (en double précision) sont stockés sur 64 bits au formet IEEE 64 :

    bits	1 bit	11 bits	52 bits
    	signe	exposant	mantisse
    domaine	±	[−1022 à 1023]	[1e−16 à 0.5]

    précision relative : 52 bits de mantisse + 1 bit implicite (le premier bit étant toujours 1)
    la précision relative du dernier bit est : 1 / 2⁵³ ≈ 1 / (8 10¹⁵ ) ≈ 10⁻¹⁶
  • précision des algorithmes : (d'après le lien ci-dessus)
    • rectangles : erreur < | M₁ (b−a)² | / (2 n) avec M₁ = majorant de f ' sur [a,b]
    • trapèzes : erreur < | M₂ (b−a)³ | / (12 n²) avec M₂ = majorant de f '' sur [a,b]
    • Simpson : erreur < | M₄ (b−a)⁵ | / (180 n⁴) avec M₄ = majorant de f⁽⁴⁾ sur [a,b]
• temps calcul : le poste principal de temps est le nombre d'appels à la fonction à intégrer (qui peut être très complexe)
  • rectangles : nombre d'appels à f = n
  • trapèzes : nombre d'appels à f = n + 1
    la méthode des trapèzes a le même coût que la méthode des rectangles en étant beaucoup plus précise.
  • Simpson : nombre d'appels à f = 2 n + 1

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