Cours de Math. Sup. Logique   [répertoire]

• Free_variables_and_bound_variables
  • ∑_k=1¹⁰ f(k,n) : k est liée ; n est libre   Expression(n) ne dépend pas de k
  • ∫ x^y e^x dx : x est liée ; y est libre   Expression(y) ne dépend pas de x
  • lim_h→0 (f(x+h)−f(x))/h : h est liée ; x est libre   Expression(x) ne dépend pas de h
  • ∀x ∃y [φ(x,y,z)] : x, y sont liées ; z est libre   Expression(z) ne dépend pas de x,y (expression/proposition logique)
  • λ-calculus : λx.t signifie fonction t=f(x) ou x → t
  • α-equivalence : (x → f(x)) est α-equivalent à (y → f(y)) : les 2 définitions définissent la même fonction
• 4. Logique du premier ordre (très peu d'exemples) cours nul
  exposition descendante du général au particulier : on aligne les définitions puis on les applique (anti-pédagogique)
  contrairement au fonctionnement du cerveau ascendant : on étudie des cas pariculiers puis on généralise
  formules strictes : vocabulaire
  • Deux constantes propositionnelles : ⊥ et ⊤ représentant respectivement le faux et le vrai (True)
  • Variables : suite de lettres et de chiffres commençant par une des minuscules u, v, w, x, y, z.
  • Connecteurs : ¬,∧,∨,⇒,⇔.
  • Quantificateurs : ∀ le quantificateur universel et ∃ le quantificateur existentiel.
  • Ponctuations : la virgule «, » et les parenthèses ouvrantes «( » et fermantes «) ».
  • Symbole :
    ordinaire : suite de lettres et de chiffres ne commençant pas par une des minuscules u, v, w, x, y, z.
    spécial : + , - ,*,/, = , $ \not=$, < ,≤, > ,≥
• Les parenthèses sont remplacées par la priorité (beaucoup plus difficile);
  Comme pour les formules arithmétiques : a*x+b = (a*x)+b ≠ a*(x+b)
  c'est tellement plus simple en remplaçant les priorités par des parenthèses (pourquoi faire simple ?)
• exemples :
  • ∀xP(x)⇒Q(y) avec des parenthèses : ( ∀x P(x) ) ⇒ ( Q(y) ) MAIS alors ∀x ( P(x)⇒Q(x) ) ???
  • ∀xP(x, y)∧∃zR(x, z) avec des parenthèses : ∀x ( P(x, y) ∧ ∃z R(x, z) ) Et non ( ∀xP(x, y) ) ∧ ( ∃z R(x, z) ) . . .

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