Nous présentons 2 méthodes :
méthode de combinaison ou méthode de triangularisation de Gauss
méthode de substitution

Système de 3 équations linéaires à 3 inconnues : (méthode de triangularisation de Gauss = méthode de combinaison)

• Système à résoudre :

  				(Eq.)		Elimination(x) de l'Eq.(2)		Elimination(x) de l'Eq.(3)
  2 x	+ 3 y	+ 4 z	= 34	(1)		| × (- 3)		| × (- 4)
  3 x	- 2 y	+ z	= 10	(2)		| × (+ 2)		|
  4 x	- y	+ 2 z	= 22	(3)		|		| × (+ 2)

  Suppression de x de l'équation (2)						Suppression de x de l'équation (3)
  - 6 x	- 9 y	- 12 z	= - 102	(1) × -3		- 8 x	- 12 y	- 16 z	= - 136	(1) × -4
  + 6 x	- 4 y	+ 2 z	= 20	(2) × 2		+ 8 x	- 2 y	+ 4 z	= 44	(3) × 2
  	- 13 y	- 10 z	= - 82				- 14 y	- 12 z	= - 92

• Le système devient :

  				(Eq.)		Elimination(y) de l'Eq.(3.1)
  2 x	+ 3 y	+ 4 z	= 34	(1)		|
  	- 13 y	- 10 z	= - 82	(2.1)		| × (+ 14)
  	- 14 y	- 12 z	= - 92	(3.1)		| × (- 13)

  Suppression de y de l'équation (3.1)
  - 182 y	- 140 z	= - 1148	(2.1) × +14
  + 182 y	+ 156 z	= + 1196	(3.1) × -13
  	+ 16 z	= + 48

• Le système devient :

  				(Eq.)
  2 x	+ 3 y	+ 4 z	= 34	(1)
  	- 13 y	- 10 z	= - 82	(2.1)
  		16 z	= 48	(3.2)

• En résolvant à partir du bas :
  Eq (3.2) => z = 48 / 16 = 3
  Eq (2.1) => - 13 y - 10 × 3 = - 82   => - 13 y = 10 × 3 - 82 = 30 - 82 = -52   => y = - 52 / (- 13) = 4
  Eq (1) => 2 x + 3 × 4 + 4 × 3 = 34   => 2 x = - 3 × 4 - 4 × 3 + 34   => 2 x = - 12 - 12 + 34 = 10   => x = 10 / 2 = 5
• Vérification :

  2 × 5 + 3 × 4 + 4 × 3	= 10 + 12 + 12	= 10 + 24	= 34	OK
  3 × 5 - 2 × 4 + 3	= 15 - 8 + 3	= 18 - 8	= 10	OK
  4 × 5 - 4 + 2 × 3	= 20 - 4 + 6	= 26 - 4	= 22	OK

Système de 3 équations linéaires à 3 inconnues : (méthode de substitution)

• Système à résoudre :

  				(Eq.)
  2 x	+ 3 y	+ 4 z	= 34	(1)
  3 x	- 2 y	+ z	= 10	(2)	=> z = 10 - 3 x + 2 y	(C'est la variable la plus simple)
  4 x	- y	+ 2 z	= 22	(3)

• En remplaçant z par ( 10 - 3 x + 2 y ) dans les 2 autres équations : (1) et (3) on obtient un système de 2 équations à 2 inconnues.

  				(Eq.)
  2 x	+ 3 y	+ 4 ( 10 - 3 x + 2 y )	= 34	(1.1)
  4 x	- y	+ 2 ( 10 - 3 x + 2 y )	= 22	(3.1)

  En développant :				(Eq.)
  2 x	+ 3 y	+ 40 - 12 x + 8 y	= 34	(1.1)
  4 x	- y	+ 20 - 6 x + 4 y	= 22	(3.1)

  Soit :			(Eq.)		Elimination(x) par une méthode de combinaison
  - 10 x	+ 11 y	= 34 - 40 = - 6	(1.1)		| × (+ 2)
  - 2 x	+ 3 y	= 22 - 20 = + 2	(3.1)		| × (- 10)

  Soit :
  - 20 x	+ 22 y	= - 12		(1.1) × (+ 2)
  + 20 x	- 30 y	= - 20		(3.1) × (- 10)
  	- 8 y	= - 32

  d'où : y = - 32 / (-8) = 4 ...