Rappels

• Une application courante des systèmes d'équations est la détermination des paramètres d'une fonction dont on veut qu'elle passe par des points donnés.
  exemple : trouver a et b de la fonction y = a x³ + b/(x+1)² sachant que les points A=(2,3) et B=(3,7) appartiennent à sa courbe représentative (C).
  indice 1       indice 2       réponse
• Une augmentation en pourcentage n'est pas une addition mais un produit.
  Exemple : la population d'une ville augmente de 3 % chaque année avec u₁ = 2000
  C'est une définition par récurrence : u_n+1 = u_n + (3/100)u_n = 1.03 u_n
  Trouver la population u₀ ? u₁ = 1.03 u₀ ⇒ u₀ = u₁ / 1.03 = 2000 / 1.03
  Attention : Le contraire d'une augmentation de 3% (×1.03) n'est pas une diminution de 3% (×0.97) car 1.03 × 0.97 ≠ 1
  Voir le calcul du prix HT d'un produit dont on connaît le taux de TVA et son prix TTC.
• Suites doubles : une première suite u_n est définie explicitement. Une seconde suite v_n est définie à partir de u_n. On demande de trouver sa forme explicite.
  Exemple : u_n+1 = 0.8 × u_n + 300 avec u₁ = 1000 et v_n = 1500 - u_n. Montrer que v_n est une suite géométrique
  On calcule les premiers termes de v_n

  u1 = 1000	v1 = 1500 - u1 = 1500 - 1000 = 500
  u2 = 0.8 u1 + 300 = 1100	v2 = 1500 - u2 = 1500 - 1100 = 400
  u3 = 0.8 u2 + 300 = 1180	v3 = 1500 - u3 = 1500 - 1180 = 320

  Comme on nous dit que v_n est une suite géométrique : sa raison q = v₂ / v₁ = 4 / 5
  de même v₃ / v₂ = 4 / 5 = 0.8
  d'où forme explicite de v_n = v₀ (4/5)ⁿ
  or v₁ = v₀ (4/5)¹ = 500 ⇒ v₀ = 2500/4 = 625
  d'où forme explicite de v_n = 625 × (4/5)ⁿ
  ensuite la démonstration de v_n = 625 × (4/5)ⁿ se fait par récurrence :
  1) on vérifie qu'elle est vraie pour n = 1
  2) on suppose qu'elle est vraie de 0 jusqu'à n et on va en déduire qu'elle est vraie pour n+1
  pour n : v_n = 625 × (0.8)ⁿ (hypothèse)
  donc u_n = 1500 - v_n = 1500 - 625 × (0.8)ⁿ (relation entre u et v)
  donc u_n+1 = 0.8 × u_n + 300 = 0.8 × (1500 - 625 × (0.8)ⁿ ) + 300 = 1200 - 625 × (0.8)ⁿ⁺¹ + 300 = 1500 - 625 × (0.8)ⁿ⁺¹
  d'où v_n+1 = 1500 - u_n+1 = 1500 - (1500 - 625 × (0.8)ⁿ⁺¹) = 625 × (0.8)ⁿ⁺¹ La récurrence est vérifiée !

Systèmes linéaires à 2 équations

Systèmes linéaires à 3 équations