Cours de Math. 1^èreES Equations du 2ème degré

• Commencer par étudier la fonction parabole : f(x) = ax² + bx + c
• Les racines de l'équation f(x) = 0 sont les abscisses des points d'intersection
  de la courbe y = f(x) avec l'axe des x ( Ox d'équation y = 0 )
• première méthode de résolution : la méthode graphique (qui marche pratiquement toujours)
• méthode algébrique : x = ( −b ±√Δ ) / (2 a)       (si a ≠ 0)
  avec : Δ = b²−4ac
• Cas particuliers :
  • a = 0 : bx + c = 0
    • cas b ≠ 0 : x = −c/b
    • cas b = 0 et c ≠ 0 : 0x + c = 0 : pas de solution (S = ∅)
    • cas b = 0 et c = 0 : 0x + 0 = 0 : tout l'ensemble R est solution (S = R)
  • a ≠ 0 et b = 0 : ax² + c = 0
    • la formule générale peut s'appliquer, mais il faut simplifier le résultat
    • x² = −c/a
    • si −c/a > 0 : 2 solutions x = ±√−c/a
    • si −c/a = 0 soit c = 0 : 1 solution x = 0
    • si −c/a < 0 : pas de solution (S = ∅)
  • a ≠ 0 et c = 0 : ax² + bx = 0
    • la formule générale peut s'appliquer, mais il faut simplifier le résultat (Δ = b² ≥ 0)
    • x (x + b/a) = 0
    • 2 solutions : x = 0 et x =−b/a
• exemple d'équation paramétrique : mx² + (m+1)x + 1 = 0
  • Δ = (m+1)² − 4m = (m−1)² ≥ 0
    • si m ≠ 1 : il y a 2 solutions
    • si m = 1 : Δ = 0 : il y a 1 solution : x = −b/(2a) = −(m+1)/(2m) = −1
  • si m ≠ 0 : x = [−(m+1) ±(m−1)] / (2m)
    • x = [−m − 1 + m − 1] / (2m) = −1/m
    • x = [−m − 1 − m + 1] / (2m) = −1
  • si m = 0 : x + 1 = 0 : x = −1
• propriétés des racines : f(x) = a (x − x₁) (x − x₂) = 0     (a ≠ 0)
  • (x − x₁) (x − x₂) = 0
  • x² −(x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0
  • x² −Sx + P = 0
  • x² + (b/a)x + (c/a) = 0   =>   somme S = −b/a et produit P = c/a
  • exemple : équation de racines 3 et 4 : S = 7, P = 12 => solutions de l'équation : x² −7x + 12 = 0
  • Δ = S² − 4P = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂ = (x₁ − x₂)²
  • x = (S ± √Δ) / 2

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