DM du 20/10/2020 [répertoire]

• exercice sur les fonctions :
  Domaine de Définition de f : D_f = [−7 ; 6]
• 1.a) images : f(−3) = 2   ;   f(0) = −1,2
• 1.b) antécédents : f(x) = 0 : 3 solutions { −4 ; −1 ; 3 }
  f(x) = 1 : 3 solutions { −3,8 ; −1,9 ; 3,6 }
• 2) f(D) = [−4,5 ; 4]
• 3) f(x) = −1 cela signifie : les antécédents de −1
  3 antécédents { −4,2 ; −0,2 ; 2,2 }
  Inéquation f(x) < 0 : solution [ −7 ; −4 [ ∪ ] −1 ; 3 [
• 4.a) variation :

  x	−5		−3		1		6
  f(x)	−4,5	↗	2	↘	−2	↗	4

  5 extremums :
  maximum local (−7 ; −2) ; minimum (−5 ; −4,5) ; maximum local (−3 ; 2) ; minimum local (1 ; −2) ; maximum (6 ; 4)
  On retrouve les bornes de l'image f(D)
• 4.b) √2 < √3 ( ≈ 1,414 < 1,732 )
  √2, √3 ∈ [1 ; 6] où la fonction est croissante
  donc √2 < √3 ⇒ f(√2) < f(√3)
• exercice 2 : f(x) = (x−3) / (x+1)
  valeur interdite : x+1=0 soit x=−1
  l'intervalle [0;7] ne contient pas −1 donc la fonction f(x) est bien définie
• exercice 3 : f(x) = x⁴
  démontrer que X⁴ − Y⁴ = (X−Y) (X+Y) (X²+Y²)
  appliquons l'identité remarquable : a² − b² = (a−b) (a+b)
  (X−Y) (X+Y) (X²+Y²) = (X² − Y²) (X² + Y²)
  appliquons de nouveau l'identité remarquable : a² − b² = (a−b) (a+b)
  (X−Y) (X+Y) (X²+Y²) = ((X²)² − (Y²)²)
  or (a^p)^q = a^pq
  donc (X−Y) (X+Y) (X²+Y²) = X⁴ − Y⁴
  démontrer que f(x) ↗ sur [0 ; +∞[
  définition d'une fonction croissante :
  a < b ⇒ f(a) < f(b)
  OU a − b < 0 ⇒ f(a) − f(b) < 0
  d'après le résultat de la question précédente :
  prenons 0 < a < b : f(a) − f(b) = a⁴ − b⁴ = (a−b) (a+b) (a² + b²)
  (a−b) < 0 par choix de a et b
  a + b > 0 : somme de nombres positifs
  a² + b² : somme de nombres positifs
  le produit est négatif : f(a) − f(b) < 0
  la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; +∞[
• Afficheur digital 7 segments

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