EXERCICES : fonction exponentielle   (répertoire)

• Produit Scalaire
   
• Exercice I :
  Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = (2x+1) e^x
  Sur le graphique ci-dessous, sont tracées la courbe C_f représentative de la fonction f, et la droite T, tangente à cette courbe au point d’abscisse 0.
• I.1) Intersection de la courbe C_f avec l’axe des abscisses :
  les points d'intersections appartiennent à l'axe des abscisses et à la courbe C_f
  l'équation de l'axe des abscisses : y = 0
  l'équations de la courbe : y = (2x+1) e^x
  d'où (2x+1) e^x = 0
  e^x > 0 n'est jamais nul
  seule solution pour : 2x+1 = 0 soit le point (−1/2 ; 0)
• remarque : ce qui fait un système de 2 équations à 2 inconnues (x, y)
  l'axe Ox pourrait être remplacé par l'équation d'une autre courbe y=g(x) plus compliquée
• I.2) Montrer que, pour tout x réel, que f ′(x) = (2x+3) e^x.
  f(x) = u v avec u = (2x+1) et v = e^x
  u' = 2 et v' = e^x
  f '(x) = u' v + u v' = 2 e^x + (2x+1) e^x
  f '(x) = [ 2 + (2x+1) ] e^x
  f '(x) = (2x+3) e^x
   
• I.3) Dresser le tableau de signes de f ′(x) sur ℝ, puis préciser les variations de f sur ℝ.
  zéros de f '(x) : 2x+3 = 0 soit x = −3/2

  x	−∞		−3/2		∞
  2x+3	−		0	+
  ex	+		+	+
  f '(x)	−		0	+
  f(x)	0	↘	−2e−3/2	↗	∞

• remarque : Pour étudier le signe d'un produit, on étudie le signe de chaque terme du produit
  ici : 2x+3 d'une part et e^x d'autre part
• I.4.a) Déterminer l’équation réduite de la tangente T.
  y = f '(a) (x − a) + f(a)
  a = 0 : f(a) = 1 ; f '(a) = 3
  donc y = 3 x + 1
   
• I.4.b) Justifier graphiquement que, pour tout réel x, on a : (2x+1) e^x ≥ 3x+1
  pour x : (2x+1) e^x = f(x) et ordonnée du point de la tangente = 3x+1
  on voit sur le graphique que la courbe C_f est toujours au-dessus de la tangente.
  pour un x quelconque : f(x) ≥ 3x+1 soit (2x+1) e^x ≥ 3x+1
• remarque : on pourrait étudier le signe de la fonction d(x) = f(x) − (3x+1)
  en dérivant 2 fois, (3x+1) et on peut déterminer le signe de d''(x)
  d'après la variation de d'(x) on peut déterminer son signe
  et en déduire la variation de d(x) puis de son signe toujours ≥ 0
   
• Exercice II :
  Une entreprise de menuiserie réalise des découpes dans des plaques rectangulaires de bois.
  Dans un repère orthonormé d’unité 30 cm ci-dessous, on modélise la forme de la découpe dans la plaque rectangulaire par la courbe représentative de la fonction f définie sur l’intervalle [−1;2] par
  f(x)=(−x+2) e^x.
  Le bord supérieur de la plaque rectangulaire est tangent à la courbe C_f.
  On nomme L la longueur de la plaque rectangulaire et ℓ sa largeur.
   
• II.1) On note f ′ la fonction dérivée de f.
  II.1.a) Calcul de f ′(x) :
  f(x) = u v avec u = −x+2 et v = e^x
  u' = −1 et v' = e^x
  f '(x) = u' v + u v' = −1 e^x + (−x+2) e^x
  f '(x) = (−x+1) e^x
   
• II.1.b. En déduire le tableau de variations de la fonction f sur [−1;2].
  zéros de f '(x) : −x+1 = 0 soit x = 1

  x	−1		1		2
  −x+1	+		0	−
  ex	+		+	+
  f '(x)	+		0	−
  f(x)	3/e	↗	e	↘	0

   
• II.2) La longueur L de la plaque rectangulaire est de 90 cm. Trouver sa largeur ℓ exacte en cm.
  facteur d'échelle : d'après la longueur L : 3 sur le graphique correspond à 90 cm
  donc 1 correspond à 30 cm
  largeur de la plaque : e sur le graphique
  correspond à une largeur : ℓ = 30 e cm   (≈ 82 cm)

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