Asymptotes

• Savoir quand une courbe (C_f d'équation y=f(x)) est au-dessus d'une autre (C_g d'équation y=g(x))
  • on étudie le signe de f(x) − g(x) = (x² − 5 x + 5) / (x − 3) − (x − 2)

    f(x) − g(x) > 0	Cf est au-dessus de Cg
    f(x) − g(x) = 0	intersection de Cf et Cg
    f(x) − g(x) < 0	Cf est au-dessous de Cg

• calcul de f(x) − g(x) : on ne fait qu'une opération par ligne
  c'est plus facile de contrôler les résultats (pour l'élève comme pour le professeur)
  • on répète l'énoncé : f(x) − g(x) = (x² − 5 x + 5) / (x − 3) − (x − 2)
  • on met au même dénominateur : f(x) − g(x) = [ (x² − 5 x + 5) − (x − 2) (x − 3) ] / (x − 3)
  • on développe le produit : f(x) − g(x) = [ (x² − 5 x + 5) − (x² − 5 x + 6) ] / (x − 3)
  • on distribue le signe "−" : f(x) − g(x) = [ x² − 5 x + 5 − x² + 5 x − 6 ) ] / (x − 3)
  • on simplifie : f(x) − g(x) = [ x² − 5 x + 5 − x² + 5 x − 6) ] / (x − 3)
  • résultat : f(x) − g(x) = − 1 / (x − 3)
• calcul du signe : tableau de signe
  valeurs particulières : x − 3 = 0, soit x = 3

  x	−∞	3	∞
  x − 3	−	0	+
  − 1 / (x − 3)	+	∞	−
  position	Cf au-dessus de Cg		Cf au-dessous de Cg

• Remarque : développement d'un polynôme du second degré qui a 2 racines "a" et "b" :
  il s'annule pour x = a, ainsi que pour x = b :
  (x − a) (x − b) = x² − (a + b) x + a b = x² − (somme) x + produit
• Comportement asymptotique : pour x → ±∞
  • limite de − 1 / (x − 3) = −1 / ∞ = 0 quand x → ±∞
  • l'écart entre la courbe C_f et la droite D (y=x−3) tend vers 0 quand x → ∞
    c'est la définition de l'asymptote à une courbe.
  • C_f a pour asymptote D (y=x−3) pour x → −∞ et x → ∞
  • f(x) a également une asymptote verticale (x = 3) : f(x) devient infini.
• Limites (a ≠ 0) : a / 0 = ∞ alors que a / ∞ = 0
• Asymptote à l'infini de f(x) = P(x) / Q(x) = ( a x^p + c x^p−1 + ... ) / ( b x^q + ... )
  f(x) → (a/b) x^p−q

  degré(P) < degré(Q)	asymptote horizontale y = 0	p < q : f(x) → (a/b) xp−q = 0
  degré(P) = degré(Q)	asymptote horizontale y = a/b ≠ 0
  degré(P) = degré(Q) + 1	asymptote inclinée y = (a/b) x + (c/b)	p = q + 1
  degré(P) > degré(Q) + 1	pas d'asymptote

• Optique :
  • formule de départ : 1/a' = 1/a + 1/f '
  • mise au même dénominateur : 1/a' = ( f ' + a ) / (a f ')
  • inversion des 2 membres : a' = a f ' / ( a + f ' )
  • grandissement : g = A'B' / AB
    comme les triangles (AOB) et (A'OB') sont semblables : A'B' / AB = OA' / OA = a'/a
  • g = a'/a = f ' / ( a + f ' )

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