Cours du 01 Octobre 2014

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  • Dérivation     Corrigés des exercices
  • Couleurs, Vision et images     Corrigés des exercices
• formes indéterminées
  • 0 / 0 = ? :
    exemple : [ (x+h)² − x² ] / h quand h → 0
  • Il faut simplifier par h pour lever l'indétermination
    h (2x + h) / h = 2x + h → 2 x quand h → 0
• puissances :
  • x^a × x^b = x^a+b   produit → somme
  • (x^a)^b = x^ab   puissance → produit
  • x¹ = x
  • x⁰ = 1
  • x^−a = 1 / x^a
  • x^1/2 = √x
  • x^−1/2 = 1 / √x
• identités remarquables :
  • (a + b) (a + b) = (a + b)² = a² + 2 a b + b²
  • (a + b) (a − b) = a² − b²
  • (a − b) (a − b) = (a − b)² = a² − 2 a b + b²
• a / b > 1
  • valeur interdite : b = 0
  • si b > 0 : on multiplie chaque membre par b   =>   a > b
  • si b < 0 : on multiplie chaque membre par b   =>   a < b
• Dérivées : f '(x) = limite [ f(x+h) − f(x) ] / h quanf h → 0
  • C'est une forme indéterminée 0 / 0
    il faut simplifier par h pour lever l'indétermination
  • dérivée de xⁿ : (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹
  • (x⁷)' = 7 x⁶
• Calcul :
  • a x + b = 0
    • a x = − b
    • x = − b / a
  • a x + b = c x + d
    • a x − c x = d − b
    • (a − c) x = d − b
    • x = (d − b) / (a − c)
• variation de fonction : f(x) = 1 / (x − 3) (hyperbole d'asymptote verticale x=3)
  signe de A = f(b) − f(a) = 1 / (b − 3) − 1 / (a − 3)
  • Pour calculer le signe d'une expression, il faut la factoriser
  • dénominateur commun : (b − 3) (a − 3)
    A = [ (a − 3) − (b − 3) ] / [ (a − 3) (b − 3) ]
  • on distribue le signe "−"
    A = [ a − 3 − b + 3 ] / [ (a − 3) (b − 3) ]
  • A = [ a − b ] / [ (a − 3) (b − 3) ]
  • signes de chaque facteur :
    • a < b   =>   a − b < 0
    • a > 3   =>   a − 3 > 0
    • b > 3   =>   b − 3 > 0
  • produit d'un nombre impair de facteurs négatifs : A est négatif
• formes indéterminées ( F.I. ) : pour le calcul des asymptotes
  • ∞ − ∞ :
        exemple : (x − 2)² − (x − 3)² quand x → ∞
  • 0 × ∞ :
        exemple : (x + 1) (x − 1)⁻¹ quand x → ∞
  • ∞ / ∞ :
        exemple : (x + 1) / (x − 1) quand x → ∞
  • 0 / 0 :
        exemple : ( x² − 5 x + 6 ) / ( x² − 3 x + 2 ) quand x → 2
• lever l'indétermination en simplifiant par le terme de plus haut degré
  • (x − 2)² − (x − 3)² = − 2 x − 5   →   − ∞ quand x → ∞
  • (x + 1) / (x − 1) = (1 + 1/x) / (1 − 1/x)   →   1 / 1 = 1 quand x → ∞
  • ( x² − 5 x + 6 ) / ( x² − 3 x + 2 ) = (x − 2) (x − 3) / [ (x − 2) (x − 1) ]
    = (x − 3) / (x − 1)   →   (2 − 3) / (2 − 1) = −1 quand x → 2

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