Cours du 22 Octobre 2014

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  maths 1ES
• exercice : Calculer
  • A = (2 + 3 √2)²
    développer A : A = 4 + 12 √2 + 18 = 22 + 12 √2
  • B = 1 / (2 + 3 √2)
    avec la forme conjuguée (2 − 3 √2), supprimer le radical du dénominateur de B
    B = (2 − 3 √2) / [ (2 + 3 √2) (2 − 3 √2) ]
    B = (2 − 3 √2) / (4 − 18) = (−2 + 3 √2) / 14
• Variation de fonctions :
  • Si a < b     =>     f(a) < f(b) : alors f(x) est croissante
    Soit : b − a > 0     =>     f(b) − f(a) > 0
  • Si a < b     =>     f(a) > f(b) : alors f(x) est décroissante
    Soit : b − a > 0     =>     f(b) − f(a) < 0
  • a < b équivaut à b − a > 0
  • étude du signe de f(b) − f(a) :
    Pour étudier le signe d'une expression, on la factorise en petits facteurs
    Il faut trouver ses racines, car f(x) peut changer de signe aux racines
  • variation de f(x) = −2 (x − 1)² + 3
  • f(b) − f(a) = −2 (b − 1)² + 3 − [ −2 (a − 1)² + 3 ]
  • f(b) − f(a) = −2 [ (b − 1)² − (a − 1)² ]
  • factorisation par l'identité remarquable : A² − B² = (A − B) (A + B)
    avec A = (b − 1)   et   B = (a − 1)
    f(b) − f(a) = −2 [ (b − 1) − (a − 1) ] [ (b − 1) + (a − 1) ]
    f(b) − f(a) = −2 [ b − a ] [ a + b − 2 ]
  • pour 1 < a < b, signes des 3 facteurs :
    • −2 < 0
    • b − a > 0
    • a + b − 2 > 0
    Comme il y a nombre impair de facteurs négatifs (−2) :     f(b) − f(a) est négative
    f(x) est décroissante sur l'intervalle ] 1 ; ∞ [
• formule des dérivées : (uⁿ) ' = n uⁿ⁻¹ u'

  n = 1 :	(a x + b)'		= a
  n = 2 :	(x2)'		= 2 x
  n = −1 :	(1/x)'	= (x−1)'	= −1 x−2	= −1/x2
  n = 1/2 :	(√x)'	= (x1/2)'	= (1/2) x−1/2	= 1/(2√x)

• dérivée d'un produit : f(x) = u(x) v(x)
  • Définition : (uv)'(x) = limite [ u(x+h) v(x+h) − u(x) v(x) ] / h     (quand h → 0)
  • Astuce : on ajoute et on retranche : u(x) v(x+h)
    (uv)'(x) = limite [ u(x+h) v(x+h) − u(x) v(x+h) + u(x) v(x+h) − u(x) v(x) ] / h     (quand h → 0)
  • (uv)'(x) = limite [ u(x+h) v(x+h) − u(x) v(x+h) ] / h + limite [ u(x) v(x+h) − u(x) v(x) ] / h
  • (uv)'(x) = limite v(x+h) × limite [ u(x+h) − u(x) ] / h + u(x) × limite [ v(x+h) − v(x) ] / h     (quand h → 0)
  • (uv)'(x) = v(x) u'(x) + u(x) v'(x)
• Courbe de Bézier : On veut faire passer une courbe par 2 points O(0,0) et M(10,0)
  avec une tangente en O de coef. directeur 2, et une tangente en M de coef. directeur −1
  • La courbe doit s'annuler pour x = 0 et x = 10 : f(x) = x (x − 10) (a x + b)
    on vérifie que f(0) = 0     (facteur "x")
    on vérifie que f(10) = 0     (facteur "x − 10")
  • On impose : f '(0) = 2 et f '(10) = −1
  • calcul de f '(x) ?
    • On met f(x) sous la forme f(x) = A B => f '(x) = A' B + A B'
    • f(x) = x (x − 10) (a x + b)
      • A = x (x − 10) = x² − 10 x     => A' = 2 x − 10
      • B = a x + b     => B' = a
    • f '(x) = (2 x − 10) (a x + b) + (x² − 10 x) a
      f '(x) = 2 a x² + 2 b x − 10 a x − 10 b + a x² − 10 a x
      f '(x) = 3 a x² + (2 b − 20 a) x − 10 b
    • f '(0) = − 10 b = 2     => b = − 2/10 = − 1/5
    • f '(10) = 300 a + 20 b − 200 a − 10 b = 100 a + 10 b = −1
          => 100 a = −1 − 10 b = −1 + 2 = 1     => a = 1/100
  • d'où f(x) = x (x − 10) (x/100 − 1/5)

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