Cours du 05 Novembre 2014

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  maths 1S     physique-chimie 1S
• contrôle sur les dérivées
  • A = 2 − 8/(x+2) et f(x) = (2x−4)/(x+2) démontrer que A = f(x)
    • Il faut mettre les 2 expressions sous la même forme pour les comparer.
    • somme d'un nombre et d'une fraction (ou somme de 2 fractions) :
        il faut les mettre au même dénominateur
    • On met les termes de A sur le dénominateur (x+2) : A = 2(x+2)/(x+2) − 8/(x+2)
      A = [ 2(x+2) − 8] / (x+2) ... et on trouve f(x)
    • remarque : 8 × (a/b) = (8a)/b   ≠   (8a)/(8b) = a/b
      quand on multiplie une fraction, on multiplie le numérateur
      quand on divise une fraction, on multiplie le dénominateur
  • interprétation géométrique (ou graphique) de f '(a) : "pente de la tangente"
    • f '(a) est le coefficient directeur de la tangente au point A (a, f(a)) de la courbe C_f
  • mesure de la dérivée sur un graphique : tangente au point A(a, f(a)) tracée sur la courbe
    • on part d'un point de la tangente,
    • on avance de +1 en x,
    • il faut monter en y de f '(a) pour revenir à la tangente.
    • remarque : pour augmenter la précision, on peut avancer de +2 en x, mais on montera alors de 2 f '(a)
  • définition de la tangente : limite quand h → 0 du taux d'accroissement
  • calculer le taux d'accroissement de g(x) = x² − 5 au point −2
    • accroissement Δy = g(x+h) − g(x) = (x+h)² − 5 − [ x² − 5 ]
      Δy = x² + 2xh + h² − 5 − x² + 5 = 2 x h + h²
    • remarque : quand on soustrait (ou multiplie, divise, ...) une expression composée de plusieurs termes,
      → on l'entoure de parenthèses ou de crochets
    • remarque : le calcul littéral est souvent plus facile que le calcul avec des nombres (on remplace à la fin)
    • taux d'accroissement pour Δx = h
      taux d'accroissement = Δy / Δx = ( 2 x h + h² ) / h = 2 x + h
      remarque : quand on divise une expression, on divise tous les termes
      h² / h : on simplifie par h : ( h² = h × h ) / h = h
      h / h = 1
  • fonctions de base : hyperbole(1/x) parabole(x²) droite(x) ainsi que x³ et √x
    voir ces courbes dans la page : courbes usuelles
  • dérivées à connaître : fonctions (ax+b), xⁿ, x⁷, 1/x, √x
    • (a x + b) ' = a     ( coefficient directeur de la droite y = a x + b )
    • (xⁿ) ' = n xⁿ⁻¹
      (x⁷) ' = 7 x⁶
    • (1/x) ' = −1/x²       (car 1/x = x⁻¹ : xⁿ pour n = −1)   et x⁻² = 1/x²
    • √x ' = 1 / ( 2 √x )       (car √x = x^1/2 : xⁿ pour n = 1/2)   et x^−1/2 = 1/√x
  • dérivée d'une fonction f(u)
      exemple : f(x) = 1 / (x + 2) = 1 / u(x)     avec u(x) = x + 2 donc u'(x) = 1
    • même dérivée que par rapport à x, mais on multiplie par la dérivée u'(x) de la fonction u(x)
    • (uⁿ) ' = n uⁿ⁻¹ u'
    • (1/u) ' = −u'/u²
    • (√u) ' = u' / ( 2 √u )
    • (u v) ' = u' v + u v'
    • (u / v) ' = ( u' v − u v' ) / v²

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