Cours du 12 Novembre 2014

• traitement d'un problème :
  • mise en équations : on passe du texte à des formules mathématiques
    périmètre = 100   →   2 x + 2 y = 100
    remarques : pour un périmètre fixé
    pour un rectangle : la plus grande surface est obtenue pour le carré (x=y)
    pour une surface quelconque : la plus grande surface est obtenue pour le disque
  • résoudre une équation : a x² + b x + c ≥ d
    se ramener à un problème connu : a x² + b x + C ≥ 0
    signe (a x² + b x + C) : signe de a en dehors des racines
  • résoudre un système de 2 équations/inéquations à 2 inconnues :
    méthode de substitution : on exprime y en fonction de x : y(x) à partir d'une équation
    on remplace y par son expression dans la seconde équation (ou inéquation)
• équation du second degré :
  • forme polynomiale : y = a x² + b x + c
    Δ = b² − 4 a c
  • forme factorisée : y = a (x − x₁) (x − x₂)
    avec, si Δ > 0 : x₁ = ( −b − √Δ ) / ( 2 a )   et   x₂ = ( −b + √Δ ) / ( 2 a )
  • forme canonique : y − y_S = a (x − x_S)²
    avec x_S = −b / (2a)   et   y_S = −Δ / (4 a)
• inéquation du second degré :
  • y = a x² + b x + c est du signe de a en dehors des racines
  • si Δ > 0 : il y a 2 racines : du signe de a en dehors des racines
    la parabole coupe l'axe Ox en 2 points
  • si Δ = 0 : il y a une racine double : du signe de a pour tout x sauf la racine
    la parabole touche l'axe Ox en 1 point. L'axe Ox est tangent à la parabole
  • si Δ < 0 : il n'y a pas de racines : du signe de a quelque soit x
    la parabole ne coupe pas l'axe Ox : elle est toujours soit au-dessus (a>0), soit au-dessous(a<0)
• simplifier une équation : A = B
  • addition / soustraction : A + C = B + C
  • multiplication / division : (A) (C) = (B) (C)
  • pour faire passer −18 de l'autre côté du signe = :
    on ajoute 18 aux 2 membres, puis on simplifie : 18−18 = 0
  • pour se débarrasser du dénominateur (x+2) :
    on multiplie les 2 membres par (x+2) : (A) (x+2) = (B) (x+2) puis on simplifie : (x+2) / (x+2) = 1
  • ( pas de méthode magique que l'on applique sans comprendre )
  • rappel :
    • opposé de a = − a     →     a + (−a) = 0
    • inverse de a = 1/a     →     a × (1/a) = 1
    • cours précédent :
      • (a/b) × c = (a c) / b pour multiplier une fraction : on multiplie le numérateur
      • (a/b) / c = a / (b c) pour diviser une fraction : on multiplie le dénominateur
      • remarque : (a c) / (b c) = (a/b)
• réviser les formules des dérivées :
  • dérivée de xⁿ : n xⁿ⁻¹       dérivée de uⁿ : n uⁿ⁻¹ u'
  • dérivée de 1/x : −1/x²       dérivée de 1/u : −u'/u²
  • dérivée de √x : 1 / (2 √x)       dérivée de √u : u' / (2 √u)

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