Cours du 17 Décembre 2014

• révision calcul :
  • x = √x² = √x × √x       (il faut que x ≥ 0)
  • √x / x = 1 / √x       (il faut que x > 0)
• dérivées élémentaires à connaître :
  • f(x) = k → f '(x) = 0   (f '(x) = coefficient directeur de la droite "y = k" horizontale)
  • f(x) = k x → f '(x) = k   (f '(x) = coefficient directeur de la droite "y = k x")
  • f(x) = a x + b → f '(x) = a   (f '(x) = coefficient directeur de la droite "y = a x + b")
  • f(x) = x² → f '(x) = x
  • f(x) = x³ → f '(x) = 3 x²
  • f(x) = xⁿ → f '(x) = n xⁿ⁻¹ = n xⁿ / x
  • f(x) = 1/x = x⁻¹ → f '(x) = −1 (1/x) / x = − 1 / x²
  • f(x) = √x = x^1/2 → f '(x) = (1/2) √x / x = 1 / (2 √x)
• dérivées complexes :
  • somme, différence : f(x) = u(x) + v(x) = u + v → f '(x) = u' + v'
  • produit : f(x) = u v → f '(x) = u' v + u v'
    f(x) = u v w → f '(x) = u' v w + u v' w + u v w'
  • quotient : f(x) = u / v → f '(x) = (u' v − u v') / v²
    f(x) = u^k / v^m = u^k v^−m → f '(x) = ( k u' v − m u v') u^k−1 / v^m+1
  • f(u(x)) = f(u) → f(u) ' = f '(u) u'
• dériver une fonction f(x) : écrire f(x) sous une forme connue dont on connaît la dérivée
  • On laisse f '(x) sous une forme factorisée afin d'étudier son signe.
  • f(x) = (5 x − 2)³ = u³
    • avec : u = 5 x − 2 ; u' = 5
    • f '(x) = 3 u² u' = 3 × 5 (5 x − 2)² = 15 (5 x − 2)²
  • f(x) = x √x = u v
    • avec : u = x ; v = √x ; u' = 1 ; v' = 1 / (2 √x)
    • f '(x) = u' v + u v' = [ 1 √x + x / (2 √x) ]
    • f '(x) = [ √x + √x / 2 ] = (1 + 1/2) √x = (3/2) √x
  • f(x) = (2 x + 1) / (−3 x + 2) = u / v
    • avec : u = 2 x + 1 ; v = −3 x + 2 ; u' = 2 ; v' = −3
    • f '(x) = (u' v − u v') / v² = [2 (−3 x + 2) − (2 x + 1) (−3) ] / (−3 x + 2)²
    • f '(x) = [−6 x + 4 + 3 (2 x + 1)] / (−3 x + 2)²
    • f '(x) = [−6 x + 4 + 6 x + 3] / (−3 x + 2)²
    • f '(x) = 7 / (−3 x + 2)²
• étude de fonction : tableau de variation : f(x) = (x−2)² → f '(x) = 2 (x−2)
  • f '(x) = 2 x − 4
  • si la dérivée f '(x) > 0 (le coefficient directeur de la tangente est positif) : f(x) "monte" (croît)
  • si la dérivée f '(x) < 0 (le coefficient directeur de la tangente est négatif) : f(x) "descend" (décroît)

    x	−∞	2	∞
    f '(x)	−	0	+
    f(x)	décroissante	min	croissante

• équation de la droite passant par les points A (x_A, y_A) et B (x_B, y_B)
  • coefficient directeur : α = Δy / Δx = (y_B − y_A) / (x_B − x_A)
  • la droite passe par le point A (x_A, y_A)
  • équation de la droite : y = α ( x − x_A) + y_A
  • on retrouve : α = Δy / Δx = (y − y_A) / ( x − x_A) pour tous les points (x, y) de la droite
• équation de la tangente à f(x) au point A d'abscisse a
  • coordonnées de A : (a, f(a))
  • coefficient directeur de la tangente : f '(a)
  • la tangente passe par le point A (a, f(a))
  • équation de la tangente : y = f '(a) ( x − a) + f(a)

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