Cours du 8 Janvier 2015

• factoriser un polynôme du troisième degré : P(x) = α x³ + β x² + γ x + δ
  • P(x₁) = 0 : x₁ est une racine du polynôme P(x)
    on peut factoriser P(x) = (x − x₁) (a x² + b x + c)
  • On développe le produit :
    P(x) = (x − x₁) (a x² + b x + c) = a x³ + (b − a x₁) x² + (c − b x₁) x − c x₁
  • Pour que les 2 polynômes soient identiques, tous leurs coefficients doivent être égaux :
    • coefficient de x³ : α = a
    • coefficient de x² : β = b − a x₁
    • coefficient de x : γ = c − b x₁
    • terme constant : δ = − c x₁
    • a = α ; b = β + α x₁ ; c = γ + β x₁ + α x₁² ;
      vérification : δ = − γ x₁ − β x₁² − α x₁³
• Equation cartésienne d'une droite (D) : a x + b y + c = 0
  • de vecteur directeur (u, v) : v x − u y + c = 0
  • passant par le point A(x_A, y_A) :
    Les coordonnées du point A vérifient l'équation de la droite : v x_A − u y_A + c = 0
    c = − v x_A + u y_A
  • droite passant par 2 points A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B) :
    vecteur directeur (u, v) : u = x_B − x_A et v = y_B − y_A
• vecteurs colinéaires : V₁ (u₁, v₁) et V₂ (u₂, v₂)
  • Si les vecteurs sont proportionnels : s'il existe α tel que V₂ = α V₁
    Soit : u₂ = α u₁ et v₂ = α v₁
  • condition : δ = u₁ v₂ − u₂ v₁ = 0
    Soit : u₁ v₂ = u₂ v₁
• Intersection de 2 droites D₁ et D₂ :
  • le point d'intersection (x, y) appartient aux 2 droites : il faut résoudre le système
    • méthode de combinaison :
    • a₁ x + b₁ y + c₁ = 0     | × +b₂     | × −a₂
    • a₂ x + b₂ y + c₂ = 0     | × −b₁     | × +a₁
    • il y a 2 inconnues : (x, y) pour 2 équations
    • x ( a₁ b₂ − a₂ b₁ ) = − ( c₁ b₂ − c₂ b₁ )
      x = − ( c₁ b₂ − c₂ b₁ ) / ( a₁ b₂ − a₂ b₁ )
    • y ( a₁ b₂ − a₂ b₁ ) = − ( a₁ c₂ − a₂ c₁ )
      y = − ( a₁ c₂ − a₂ c₁ ) / ( a₁ b₂ − a₂ b₁ )
• résolution d'une équation du second degré : a x² + b x + c = 0
  • Δ = b² − 4 a c
  • si Δ > 0 : x = (−b ± √Δ) / (2 a)
  • remarque : (√a)² = √(a²) = a     (si a ≥ 0)
        car √x et x² sont des fonctions inverses l'une de l'autre.

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