Cours du 05 Février 2015

• Remarques :
  • A = B équivaut à B = A
    ou alors : changer A et B de côté : −B = −A qu'il faut ensuite multiplier par −1 (B = A)
  • A < B équivaut à B > A
    ou alors : changer A et B de côté : −B < −A qu'il faut ensuite multiplier par −1 (B > A)
• Menuisier, aménagement de combles :
  • Traduire l'énoncé sous forme mathématique :
    • coordonnées des points : (3 ; 0), (0 ; 2), (x ; 0), (0 ; h), (3 ; 2)
  • démontrer x > 3 : la largeur du toit doit être supérieure à la base de la pièce
    pourquoi cette question ? x−3 > 0 va nous servir pour les inéquations
  • calculer : h = f(x)
    équation de droite (y=ax+b) :
    un point appartient à la droite = ses coordonnées vérifient l'équation de la droite
    3 points → définissent 3 paramètres : a et b et h ( en fonction du paramètre x )
    • point (x ; 0) : 0 = a x + b       (équation 1)
    • point (0 ; h) : h = b               (équation 2)
    • point (3 ; 2) : 2 = 3 a + b       (équation 3)
    l'équation 2 permet d'éliminer le paramètre b (que l'on remplace par h)
    l'équation 1 permet d'éliminer le paramètre a (que l'on remplace par −h/x)
    l'équation 3 : 2 = −3h/x + h   permet d'éliminer le paramètre h (que l'on remplace par f(x))
    • élimination du dénominateur x : multiplication des 2 membres par x
    • mise en facteur de h dans le second membre d'où h = f(x)
  • démontrer l'égalité entre les 2 formules :   2x/(x−3)   et   2+6/(x−3)
    on les met sous la même forme : mise au même dénominateur de la seconde formule
  • inéquation : 4 < h < 6 = système de 2 inéquations :
    • 4 < 2+6/(x−3)
    • 2+6/(x−3) < 6
• Calcul de tangente et d'aire :
  • on encadre la courbe par 2 polygones : pour cette courbe convexe :
    • les tangentes sont toujours au-dessous la courbe : aire inférieure
    • les sécantes sont toujours au-dessus de la courbe : aire supérieure
  • calcul de l'aire d'un polygone : on le décompose en trapèzes
  • Aire d'un trapèze : S = h × (b₁ + b₂) / 2
    ou encore : S = h × b_moyenne   ( avec b_moyenne = (b₁ + b₂) / 2 )
• Vecteurs :
  • choix d'une base dans laquelle on exprime tous les vecteurs afin de les comparer
    exemple : AN = x_N AB + y_N AL (vecteurs)
    coordonnées de N dans la base (A, AB, AL) : N = (x_N ; y_N)
  • M milieu des 2 points B et L : moyenne des 2 points : AM = (AB + AL)/2 (vecteurs)
    coordonnées (x_M ; y_M) de M dans la base (A, AB, AL) : x_M = (x_B + x_L) / 2   et   y_M = (y_B + y_L) / 2
  • N appartient à (CJ) : il existe un paramètre "a" tel que CN = a CJ (vecteurs)
    ce qui nous donne 2 équations pour déterminer x et y de AN = x AB + y AL (vecteurs)
  • M, N et G sont alignés : il existe un coefficient a tel que MN = a MG (vecteurs)
    ce qui nous donne 2 équations pour déterminer a
    si le nombre "a" trouvé dans la première équation vérifie la seconde équation : les 3 points sont alignés
    sinon les 2 équations sont incompatibles : les 3 points ne sont pas alignés ( il n'y a pas de solution )
  • MN = a MG (vecteurs) : les 2 vecteurs sont colinéaires
    • AN − AM = a ( AG − AM ) (vecteurs)
    • après calculs : (3/2) AB + (1/6) AL = (9a/2) AB + (a/2) AL (vecteurs)
    • comme AB et AL sont indépendants (non colinéaires) : système de 2 équations
      • sur AB : 3/2 = 9a/2     d'où : a = 1/3
      • sur AL : 1/6 = a/2     d'où : a = 1/3
    • les 2 équations donnent la même valeur de a : elles sont identiques : les 3 points sont alignés
  • avec les coordonnées des vecteurs dans la base (A, AB, AL) :
    MN = (x_N − x_M ; y_N − y_M)   et   MG = (x_G − x_M ; y_G − y_M)
    MN = ( 3/2 ; 1/6)   et   MG = ( 9/2 ; 1/2 )
    MN et MG sont colinéaires si le produit en croix est vérifié :
    (3/2) × (1/2) = 3/4   à comparer à   (1/6) × (9/2) = 9/12 = 3/4   :   les vecteurs sont colinéaires

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