Cours du 01 Mai 2015 Trigonométrie

• Complément au cercle trigo : pour un angle x (dont on connaît cos(x)=4/5 et sin(x)=3/5 par exemple)

  symétrie / rotation	angle	cosinus	sinus
  référence	x	cos(x)	sin(x)	(angle de départ)
  symétrie % 1ère bissectrice	π/2 − x	cos(π/2 − x) = sin(x)	sin(π/2 − x) = cos(x)	(échange des sinus et cosinus)
  rotation +π/2	π/2 + x	cos(π/2 + x) = − sin(x)	sin(π/2 + x) = cos(x)
  symétrie % Oy	π − x	cos(π − x) = − cos(x)	sin(π − x) = sin(x)	(changement du signe du cosinus)
  symétrie % Origine	π + x ≡ −π + x	cos(π + x) = − cos(x)	sin(π + x) = − sin(x)	(changement des signes)
  symétrie % 2ème bissectrice	−π/2 − x	cos(−π/2 − x) = − sin(x)	sin(−π/2 − x) = − cos(x)
  rotation −π/2	−π/2 + x	cos(−π/2 + x) = sin(x)	sin(−π/2 + x) = − cos(x)
  symétrie % Ox	−x	cos(−x) = cos(x)	sin(−x) = − sin(x)	(changement du signe du sinus)

  Remarque : [sin(x)] ' = sin(x + π/2) = cos(x)
  et [cos(x)] ' = cos(x + π/2) = − sin(x)
  (ce qui n'est pas vrai pour tan : [tan(x)] ' = 1 / cos²(x))
• Démonstration de cos(a+b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
  • Soient (i) et (j) les vecteurs du repère du cercle trigo.
  • Tous les points suivants sont sur le cercle trigo. : A, B, A'
  • Soit le vecteur (OA) qui fait un angle (a) avec l'axe (Ox) : A = [ cos(a), sin(a) ] = (i) cos(a) + (j) sin(a)
  • Soit le vecteur (OB) qui fait un angle (b) avec le vecteur (OA) : B = [ cos(a+b), sin(a+b) ] = (i) cos(a+b) + (j) sin(a+b)
  • Soit le vecteur (OA') = rotation de (π/2) de (OA) :
    d'après le tableau précédent : A' = [ −sin(a), cos(a) ] = −(i) sin(a) + (j) cos(a)
  • Dans le repère (O, A, A') : les coordonnées de B sont : [ cos(b), sin(b) ]
    Ce qui s'écrit en fonction des vecteurs (OA) et (OA') : B = (OA) cos(b) + (OA') sin(b)
  • en décomposant (OA) et (OA') selon (i) et (j) :
    B = [ (i) cos(a) + (j) sin(a) ] cos(b) + [ −(i) sin(a) + (j) cos(a) ] sin(b)
    B = (i) [ cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) ] + (j) [ sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) ]
  • en identifiant à B = (i) cos(a+b) + (j) sin(a+b) :
    cos(a+b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
    sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
  • Application au cas où : b = a :
    cos(2a) = cos²(a) − sin²(a)
    sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)
• Exercice de révision pour le contrôle de trigo. :
  • Equation à résoudre : sin³(x) − (5/2) sin²(x) + (1/2) sin(x) + 1 = 0
    on pose : X = sin(x)
    l'équation devient : f(X) = X³ − (5/2) X² + (1/2) X + 1 = 0
  • recherche de solutions évidentes en X : { −1, 0, 1 }
    • X = −1 : f(−1) = (−1)³ − (5/2) (−1)² + (1/2) (−1) + 1 = −1 − (5/2) − (1/2) + 1 = [ −2 − 5 − 1 + 2 ] / 2 = −6/2 = −3 ≠ 0
    • X = 0 : f(0) = 1 ≠ 0
    • X = 1 : f(1) = 1 − (5/2) + (1/2)+ 1 = [ 2 − 5 + 1 + 2 ] / 2 = 0 / 2 = 0 (1 est une racine de f(X))
  • X = 1 est solution de f(X) = 0 : (X − 1) est un facteur du polynôme f(x)
    • factorisation de f(X) : f(X) = (X − 1) (a X² + b X + c )
    • développement : f(X) = a X³ + X² (b − a) + X (c − b) − c
    • en identifiant chaque terme avec ceux de f(X) :
      • terme en X³ : a = 1
      • terme en X² : b − a = −5 / 2
      • terme en X : c − b = 1 / 2
      • terme constant : − c = 1
    • d'où : a = 1     ;     b = −5 / 2 + a = −3 / 2     ;     c = 1 / 2 + b= −2 / 2 = −1
      on vérifie que la dernière équation donne le même résultat pour c : c = −1
    • donc f(X) = (X − 1) (X² − (3/2) X − 1)
  • factorisation de : X² − (3/2) X − 1
    • Δ = b² − 4 a c = (−3/2)² − 4 (1) (−1) = 9/4 + 4 = 9/4 + 16/4 = 25/4
    • X = (−b ±√Δ) / (2a)
    • X₁ = [ −(−3/2) − 5/2 ] / 2 = [ 3/2 − 5/2 ] / 2 = [ − 2/2 ] / 2 = −1 / 2
    • X₂ = [ −(−3/2) + 5/2 ] / 2 = [ 3/2 + 5/2 ] / 2 = [ 8/2 ] / 2 = 4 / 2 = 2
  • Les solutions à f(X) = 0 sont { 1, −1/2, 2 }
  • solutions de l'équation en x : X = sin(x)
    • sin(x)= −1/2 ⇒ x = −π/6 ou −5π/6
    • sin(x) = 1 ⇒ x = π/2
    • sin(x) = 2 : pas de solution dans R
    • Il y a 3 solutions à l'équation avec les sinus : { −π/6, −5π/6, π/2 }

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