Cours du 22 Mai 2015 Produit scalaire

• décomposition d'un vecteur dans une base orthonormée (O,i,j)
  • i² = j² = 1
  • i . j = 0
  • v = x i + y j
• 2 vecteurs u et v :
  • (u+v)² = u² + v² + 2 u.v
  • (u+v)² = u² + v² + 2 |u| |v| cos(u,v)
• Pb 2D : triangle ABC
  • nature du triangle (calcul des vecteurs AB, BC, CA), produit scalaire
    longueur d'un vecteur (module, norme) : longueur² = x² + y²
    AB² = (x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²
    • AB = AC : isocèle de sommet A
    • AB = AC = BC : équilatéral
    • BC² = AB² + AC² : rectangle en A
  • Aire d'un triangle rectangle : produits des côtés de l'angle droit divisé par 2
• produit scalaire de 2 vecteurs : v₁ . v₂
  • formulation par les composantes : v₁ . v₂ = x₁ x₂ + y₁ y₂ (en repère orthonormé)
  • formulation pas le cosinus : v₁ . v₂ = |v₁| . |v₂| cos(v₁,v₂)
  • formulation par les carrés : v₁ . v₂ = [ (v₁ + v₂)² − v₁² − v₂² ] / 2
• propriétés du produit scalaire (linéaire) : vecteurs u, v, w ; réel k
  • u . (v + w) = u . v + u . w
  • u . (k v) = k u . v
  • u . v = v . u
• équation d'une droite connaissant un vecteur directeur u(u_x ; u_y) ou un vecteur normal n(n_x ; n_y) + 1 point A(x_A ; y_A)
  • n . OM = n_x x + n_y y = n_x x_A + n_y y_A
  • u_y x − u_x y = u_y x_A − u_x y_A
• Aire triangle quelconque : base * hauteur / 2
• Cercle de centre C(x_C ; y_C) et de rayon R :
  • CM² = R²
  • (x − x_C)² + (y − y_C)² = R²
• intersection de 2 cercles : élimination de x² et y²
  • x² − 2 a x + y² − 2 b y + c = 0
  • x² − 2 a' x + y² − 2 b' y + c' = 0
  • par soustraction (combinaison) :
    2 x (a − a') + 2 y (b − b') + (c' − c) = 0       droite contenant les 2 points d'intersection.
• intersection d'un cercle et d'une droite : élimination de y
  • (x − x_C)² + (y − y_C)² = R²
  • y = a x + b
  • substitution de y : (x − x_C)² + (a x + b − y_C)² = R²
  • mettre l'équation sous la forme : a x² + b x + c = 0   (en développant)
    • Δ = b² − 4 a c
    • x = ( −b ± √Δ ) / (2 a)
• AB.AH = 8
  • AH = x AB   (H appartient au support de AB)
  • AB.AH = AB.(x AB) = x AB² = x . 16 = 8
  • x = 8 / 16 = 1/2 = 0,5
  • AH = 0,5 AB   (H est au milieu de AB)
• AB.AM = 8
  • AB.(AH + HM) = AB.AH + AB.HM = 8 + AB.HM = 8
  • AB.HM = 8 − 8 = 0   (M se projette en H sur AB)
  • M décrit la perpendiculaire à AB au point H (la médiatrice de AB)

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