étude de fonction

• Equations, inéquations :
  • page "résoudre une équation"
  • Savoir résoudre les équations (et inéquations) simples :
    • a x + b = 0   ⇒   x = − b / a             (a ≠ 0)
    • a x + b = c x + d   ⇒   x = (d − b) / (a − c)             (a − c ≠ 0)
    • a x² + b x + c = 0   ⇒   x = (−b ± √Δ) / (2 a)     avec : Δ = b² − 4 a c             (a ≠ 0)
      formule à savoir par cœur : faire une fiche avec d'un côté la question, de l'autre côté la réponse.
  • Résoudre une équation (ou inéquation) complexe :
    • 1) Mettre l'équation sous la forme f(x) = 0   (ou f(x) < 0)
    • 2) factoriser le membre de gauche
    • 3) pour une équation : un produit est nul si un de ses termes est nul
      pour une inéquation, on fait un tableau de signe pour chaque terme : positif ou négatif
• Exemples : résoudre une équation : A = B
  • pour maintenir l'égalité des 2 membres (gauche et droit) on peut :
    • 1) ajouter/soustraire la même quantité à chaque membre
    • 2) multiplier/diviser les 2 membres par une même quantité
  • a x + b = 0
    • on ajoute −b à chaque membre : (on soustrait a à chaque membre)
      a x + b − b = 0 − b
    • a x = −b
    • on divise chaque membre par a : (on multiplie chaque membre par 1/a)
      a x / a = −b / a
    • x = −b / a
  • autre exemple : a x = b + c
    • on divise chaque membre par a :
      a x / a = ( b + c ) / a
      −> on divise (b+c) par a : ne pas oublier les parenthèses
    • x = ( b + c ) / a
• symétrie des fonctions :
  • fonction paire     : f(−x) = f(x) symétrique % Oy
  • fonction impaire : f(−x) = −f(x) symétrique % O
• fonctions à connaître :
  • droite : y = a x + b
  • parabole verticale d'axe Oy : y = x^2 (fonction paire)
  • hyperbole : y = 1 / x (fonction impaire)
  • racine de x : y = racine_carrée(x) = √x : demi parabole horizontale d'axe Ox
  • y = |x| valeur absolue de x (fonction paire)
• Domaine de définition :
  • les valeurs interdites doivent être retirées du domaine de définition
  • f(x) = P(x) / Q(x)     valeurs interdites : qui annulent le dénominateur Q(x) = 0
    exemple : f(x) = 2 x / (x² − 4)   définie sur R − {2, −2}
  • f(x) = √P(x)     valeurs interdites : valeur sous le radical négative
    exemple : f(x) = 2 x / √x² − 4   définie sur R − [−2, +2]   =   ]−∞ ; −2[ union ]2 ; +∞[
• Sens de variation de la fonction f(x) :

  a < b	ou	a − b < 0	sens de variation
  f(a) < f(b)		f(a) − f(b) < 0	f(x) croissante
  f(a) > f(b)		f(a) − f(b) > 0	f(x) décroissante

  exemple : sens de variation de f(x) = x²
  a < b ⇒ a − b < 0
  f(a) − f(b) = a² − b² = (a − b) (a + b)
  sur ]0 ; +∞[ : a + b > 0 ⇒ f(a) − f(b) < 0 f(x) est croissante
  sur ]−∞ ; 0[ : a + b < 0 ⇒ f(a) − f(b) > 0 f(x) est décroissante
• Inéquation ≥ 0 à résoudre : ensemble des x pour lesquels l'inéquation est vraie
  • f(x) = (x + 4) (x − 4) ≥ 0
  • D'après la courbe :
    • f(x) > 0 pour x dans ] −∞ ; −4 [   (OK)
    • f(x) = 0 pour x = − 4                   (OK)
    • f(x) < 0 pour x dans ] −4 ; 4 [   (à rejeter)
    • f(x) = 0 pour x = 4                       (OK)
    • f(x) > 0 pour x dans ] 4 ; ∞ [         (OK)
    • Réponse : f(x) ≥ 0 pour x dans ] −∞ ; −4 ] union [ 4 ; ∞ [
  • Tableau de signes :

    x	−∞	−4		4	+∞
    x + 4	−	0	+	+	+
    x − 4	−	−	−	0	+
    f(x)	+	0	−	0	+

  • A savoir : a x² + b x + c   est du signe de a en dehors des racines.
    car : a x² + b x + c = a (x − x₁) (x − x₂)
    et s'il n'y a pas de racines : toujours du signe de a.
• optique :
  • 1/OF' = 1/OA' − 1/OA
  • 1/f ' = 1/a' − 1/a
  • on cherche a' connaissant a et f ' : (on passe −1/a dans l'autre membre)

    1/a'	=	1/a	+	1/f '
    image		objet		lentille

  • Vergence d'une lentille : V = 1 / f '   = n (1/R₁ − 1/R₂)
  • résoudre pour obtenir a' :
    • mettre les termes du membre de droite au même dénominateur : 1/a' = 1/a + 1/f ' = (f ' + a) / (a f ')
    • inverser les 2 membres : a' = a f ' / ( a + f ')     (le produit sur la somme : résultat en mètres)
    • distance focale

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